a) Ta có: \( \displaystyle\sqrt {(x - 1)(x - 3)} \) xác định khi và chỉ khi :
\( \displaystyle(x - 1)(x - 3) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\( \displaystyle\left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr
x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)
Trường hợp 2:
\( \displaystyle\left\{ \matrix{
x - 1 \le 0 \hfill \cr
x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 1\)
Vậy với \(x ≤ 1\) hoặc \(x ≥ 3\) thì \( \displaystyle\sqrt {(x - 1)(x - 3)} \) xác định.
b) Ta có: \( \displaystyle\sqrt {{x^2} - 4} \) xác định khi và chỉ khi:
\( \displaystyle\eqalign{
& {x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 4 \cr
& \Leftrightarrow \left| x \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr
x \le - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy với \(x ≤ -2\) hoặc \(x ≥ 2\) thì \( \displaystyle\sqrt {{x^2} - 4} \) xác định.
c) Ta có: \( \displaystyle\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \) xác định khi và chỉ khi:
Trường hợp 1:
\( \displaystyle\left\{ \matrix{
x - 2 \ge 0 \hfill \cr
x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr
x > - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)
Trường hợp 2:
\( \displaystyle\left\{ \matrix{
x - 2 \le 0 \hfill \cr
x + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 2 \hfill \cr
x < - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 3\)
Vậy với \(x < -3\) hoặc \(x ≥ \)2 thì \( \displaystyle\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \) xác định.
d) Ta có: \( \displaystyle\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \) xác định khi và chỉ khi \( \displaystyle{{2 + x} \over {5 - x}} \ge 0\)
Trường hợp 1:
\( \displaystyle\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2 + x \ge 0 \hfill \cr
5 - x > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 2 \hfill \cr
x < 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow - 2 \le x < 5 \cr} \)
Trường hợp 2:
\( \displaystyle\left\{ \matrix{
2 + x \le 0 \hfill \cr
5 - x < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x > 5 \hfill \cr} \right.\)
\( \displaystyle \Leftrightarrow \) vô nghiệm.
Vậy với \(-2 ≤ x < 5\) thì \( \displaystyle\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \) xác định.
