Bài 1.77 trang 42 SBT hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\). Phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k =  - 2\) biến \(\left( C \right)\) thành đường tròn có phương trình

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\)

B. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)

C. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\)

D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Gọi \(I' = {V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( I \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {OI'}  = k\overrightarrow {OI} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 0 =  - 2\left( {1 - 0} \right)\\y' - 0 =  - 2\left( {2 - 0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - 2\\y' =  - 4\end{array} \right.\).

Suy ra \(I'\left( { - 2; - 4} \right)\).

Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua \({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\) nên \(R' = 2R = 4\).

Vậy \(\left( {C'} \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16\).

Chọn D.