Để xác định, ba bạn được đánh số 1, 2, 3.
Kí hiệu \({A_i}\) là tập hợp các cách cho mượn mà bạn thứ \(i\) được thầy giáo cho mượn lại cuốn đã đọc lần trước \(\left( {i = 1,2,3} \right).\)
Kí hiệu X là tập hợp các cách cho mượn lại.
Theo bài ra cần tính \(n\left[ {X\backslash \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)} \right].\)
Ta có \(n\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right) \)
\(= n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) + n\left( {{A_3}} \right) - \)
\(n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_3}} \right) -\)
\(n\left( {{A_2} \cap {A_3}} \right) + n\left( {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}} \right) \)
Mà \(A_1\) là tập hợp các cách bạn thứ nhất mượn trùng cuốn, khi đó hai bạn còn lại mượn khác cuốn nên có \(2!\) cách.
Tương tự \(A_2\) và \(A_3\) cũng có \(2\) cách.
\({{A_1} \cap {A_2}}\) là tập hợp các cách bạn thứ nhất và thứ hai trùng cuốn, khi đó chỉ có bạn thứ ba khác cuốn nên chỉ có \(1\) cách.
Tương tự \({{A_1} \cap {A_3}}\) và \({{A_2} \cap {A_3}}\) cũng chỉ có \(1\) cách.
\({{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}}\) là tập hợp các cách cả ba bạn mượn trùng cuốn nên chỉ có \(1\) cách.
Suy ra có \(2! + 2! + 2! - 1 - 1 - 1 + 1=4\)
Mà \(n\left( X \right) = 3! = 6\) (cách)
Nên \(n\left[ {X\backslash \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)} \right] = 6 - 4 = 2\).
