a) \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\)
Phương trình có nghiệm kép
\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ne 0} \cr
{\Delta = 0} \cr} } \right.\)
\( \Delta = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.m.2 \)\(\, = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 8m \)\(\, = 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) \)
\( \Delta = 0\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 1 = 0 \)
\(\Delta _m = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.1 = 16 - 4 \)\(\,= 12 > 0 \)
\( \Rightarrow \sqrt {\Delta_ m} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \)
\(\displaystyle {m_1} = {{4 + 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 3 \) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne0\))
\( \displaystyle {m_2} = {{4 - 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 3 \) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne0\))
Vậy \(m = 2 + \sqrt 3 \) hoặc \(m = 2 - \sqrt 3 \) thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
b) \(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)
Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta = 0\)
\( \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.3.4 \)\(\,= {m^2} + 2m + 1 - 48 \)\(\,= {m^2} + 2m - 47 \)
\( \Delta = 0 \)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 47 = 0 \)
\( \Delta_ m = {2^2} - 4.1\left( { - 47} \right) \)\(\,= 4 + 188 = 192 > 0 \)
\( \Rightarrow \sqrt {\Delta_ m} = \sqrt {192} = 8\sqrt 3 \)
\( \displaystyle {m_1} = {{ - 2 + 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = 4\sqrt 3 - 1 \)
\(\displaystyle {m_2} = {{ - 2 - 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = - 1 - 4\sqrt 3 \)
Vậy \(m = 4\sqrt 3 - 1\) hoặc \(m = - 1 - 4\sqrt 3 \) thì phương trình có nghiệm kép.
