Bài 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 phần bài tập bổ sung trang 54, 55 SBT toán 9 tập 2

Bài 4.1

Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a) \(4{x^2} - 9 = 0\)

b) \(5{x^2} + 20 = 0\)

c) \(2{x^2} - 2 + \sqrt 3  = 0\)

d) \(3{x^2} - 12 + \sqrt {145}  = 0\)

Phương pháp:

Cách 1: Chuyển các số hạng tự do sang vế phải, nhận xét vế trái và vế phải của phương trình để giảhuyển các số hạng tự do sang vế phải, nhận xét vế trái và vế phải của phương trình để giải.

Chú ý: \({A^2} = B\,\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow |A| = \sqrt B \)

Cách 2: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

+) Nếu \(\Delta  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

+) Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

+) Nếu \(\Delta  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

a) Cách 1:

\(4{x^2} - 9 = 0 \) 

\(\Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow {x^2} = {9 \over 4} \)

\(\displaystyle\Leftrightarrow x = \pm {3 \over 2}  \)

Phương trình có hai nghiệm là: \(\displaystyle {x_1} = {3 \over 2};{x_2} =  - {3 \over 2}\)

Cách 2:

\(\eqalign{
& \Delta = {0^2} - 4.4.\left( { - 9} \right) = 144 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {144} = 12 \cr 
& {x_1} = {{0 + 12} \over {2.4}} = {{12} \over 8} = {3 \over 2} \cr 
& {x_2} = {{0 - 12} \over {2.4}} = {{ - 12} \over 8} = - {3 \over 2} \cr} \)

Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

b) Cách 1:

\(5{x^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} =  - 20\)

Vế trái \(5{x^2} \ge 0\); vế phải \(-20 < 0\)

Do đó không có giá trị nào của \(x\) để \(5{x^2} =  - 20\)

Phương trình vô nghiệm.

Cách 2:

\(\Delta  = {0^2} - 4.5.20 =  - 400 < 0.\) Phương trình vô nghiệm.

Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

c) Cách 1:

\(2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0 \)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 - \sqrt 3 \)

\(\Leftrightarrow \displaystyle{x^2} = {{2 - \sqrt 3 } \over 2} \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt {{{2 - \sqrt 3 } \over 2}} = \sqrt {{{4 - 2\sqrt 3 } \over 4}} \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left| x \right| = {{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } \over 2} \)\(\,\displaystyle= {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} } \over 2} \)

\(\displaystyle\Leftrightarrow \left| x \right|= {{\sqrt 3 - 1} \over 2}  \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\\{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Phương trình có hai nghiệm là:

\(\displaystyle {x_1} = {{\sqrt 3  - 1} \over 2};{x_2}  = {{1 - \sqrt 3 } \over 2}\)

Cách 2:

\( \Delta = {0^2} - 4.2\left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) \)\(\,= 16 - 8\sqrt 3 \)

\(= 4\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) = 4{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} > 0 \)

\( \sqrt \Delta = \sqrt {4{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\( \displaystyle {x_1} = {{0 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2} \)

\( \displaystyle {x_2} = {{0 - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}}\)\(\,\displaystyle = {{ - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over 2}\)\(\, \displaystyle = {{1 - \sqrt 3 } \over 2}  \)

Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

d) Cách 1:

\(\eqalign{
& 3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 - \sqrt {145} \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} = {{12 - \sqrt {145} } \over 3} \cr} \)

Vì \(12 = \sqrt {144} ;\sqrt {144}  < \sqrt {145}\)

\( \displaystyle \Rightarrow {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\)

Ta có vế trái \({x^2} \ge 0\), vế phải \( \displaystyle {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\)

Phương trình vô nghiệm.

Cách 2:

\(\Delta  = {0^2} - 4.3\left( { - 12 + \sqrt {145} } \right) \)\(\,=  - 12\left( {\sqrt {145}  - 12} \right)\)

Vì \(\sqrt {145}  - 12 > 0 \) \(\Rightarrow  - 12\left( {\sqrt {145}  - 12} \right) < 0\)

\( \Rightarrow \Delta  < 0.\)

Phương trình vô nghiệm.

Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

Bài 4.2

Giải các phương trình sau bằng hai cách (giải phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a) \(5{x^2} - 3x = 0\)

b) \(3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0\)

c) \(2{x^2} + 7x = 0\)

d) \(2{x^2} - \sqrt 2 x = 0\)

Phương pháp:

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:

\(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)

Cách 2: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

+) Nếu \(\Delta  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

+) Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

+) Nếu \(\Delta  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

a) Cách 1:

\( 5{x^2} - 3x = 0 \)

\( \Leftrightarrow x\left( {5x - 3} \right) = 0  \)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(5x - 3 =0\)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x = {3 \over 5}.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle {3 \over 5}\).

Cách 2:

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.5.0 = 9 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3 \cr 
& {x_1} = {{3 + 3} \over {2.5}} = {6 \over {10}} = {3 \over 5} \cr 
& {x_2} = {{3 - 3} \over {2.5}} = {0 \over {10}} = 0 \cr} \)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle {3 \over 5}\).

Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

b) Cách 1:

\( 3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0 \)

\( \Leftrightarrow 3x\left( {\sqrt 5 x + 2} \right) = 0  \)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(\sqrt 5 x + 2 = 0\)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x =  - {{2\sqrt 5 } \over 5}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} =  - {{2\sqrt 5 } \over 5}\).

Cách 2:

\(\eqalign{
& \Delta = {6^2} - 4.3\sqrt 5 .0 = 36 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {36} = 6 \cr 
& {x_1} = {{ - 6 + 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {0 \over {6\sqrt 5 }} = 0 \cr 
& {x_2} = {{ - 6 - 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {{ - 12} \over {6\sqrt 5 }} = - {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr} \)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} =  - {{2\sqrt 5 } \over 5}\).

Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

c) Cách 1:

\(2{x^2} + 7x = 0 \)

\( \Leftrightarrow x\left( {2x + 7} \right) = 0  \)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(2x + 7 = 0\)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x =  - {7 \over 2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;\displaystyle {x_2} =  - {7 \over 2}\)

Cách 2:

\(\eqalign{
& \Delta = {7^2} - 4.2.0 = 49 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr 
& {x_1} = {{ - 7 + 7} \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr 
& {x_2} = {{ - 7 - 7} \over {2.2}} = {{ - 14} \over 4} = - {7 \over 2} \cr} \)

Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;\displaystyle {x_2} =  - {7 \over 2}\)

Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

d) Cách 1:

\( 2{x^2} - \sqrt 2 x = 0 \)

\(\Leftrightarrow x\left( {2x - \sqrt 2 } \right) = 0 \)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(2x - \sqrt 2  = 0\)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \( x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\).

Cách 2:

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - 4.2.0 = 2 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt 2 \cr 
& {x_1} = {{\sqrt 2 + \sqrt 2 } \over {2.2}} = {{2\sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr 
& {x_2} = {{\sqrt 2 - \sqrt 2 } \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr} \)

Vậy phương trình có hai nghiệm \( x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\).

Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

Bài 4.3

Giải các phương trình:

a) \({x^2} = 14 - 5x\)

b) \(3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2\)

c) \({\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 - 2x\)

d) \(\displaystyle {{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over 5} \)\(\,\displaystyle+ {{x\left( {2x - 3} \right)} \over 2}\)

Phương pháp:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

+) Nếu \(\Delta  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)  và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

+) Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

+) Nếu \(\Delta  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

a) \({x^2} = 14 - 5x \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 5x - 14 = 0\)

\( \Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 14} \right) \)\(\,= 25 + 56 = 81 > 0 \)

\( \sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\displaystyle  {x_1} = {{ - 5 + 9} \over {2.1}} = {4 \over 2} = 2 \) 

\( \displaystyle {x_2} = {{ - 5 - 9} \over {2.1}} = {{ - 14} \over 2} = - 7  \)

b) \(3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2 = 0 \)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \)

\( \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = 1 - 4 = - 3 < 0 \)

Phương trình vô nghiệm.

c) \( {\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 - 2x \)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 2x - 3131 = 0 \)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3127 = 0 \)

\( \Delta = {6^2} - 4.1.\left( { - 3127} \right) \)\(\,= 36 + 12508 = 12544 > 0 \)

\(\sqrt \Delta = \sqrt {12544} = 112 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\( \displaystyle {x_1} = {{ - 6 + 112} \over {2.1}} = {{106} \over 2} = 53 \)

\( \displaystyle {x_2} = {{ - 6 - 112} \over {2.1}} = - 59 \)

d) \(\displaystyle {{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over 5} \) \(\displaystyle + {{x\left( {2x - 3} \right)} \over 2} \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 10 = 2{\left( {3x - 1} \right)^2} \) \(+ 5x\left( {2x - 3} \right) \)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 12x + 18 + 10 = 18{x^2} - 12x \)\(\,+ 2 + 10{x^2} - 15x \)

\( \Leftrightarrow 26{x^2} - 39x - 26 = 0 \)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \)

\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 9 + 16\)\(\, = 25 > 0 \)

\(\sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\displaystyle {x_1} = {{3 + 5} \over {2.2}} = {8 \over 4} = 2 \)

\(\displaystyle {x_2} = {{3 - 5} \over {2.2}} = - {1 \over 2} \)

Bài 4.4

Chứng minh rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm thì phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\)\(\, + c = x\) cũng vô nghiệm.

Phương pháp:

Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\).

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = x\;(a \ne 0)\) vô nghiệm.

\( \Leftrightarrow  a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c = 0\) vô nghiệm

\(\eqalign{
& \Rightarrow \Delta = {\left( {b - 1} \right)^2} - 4ac < 0\cr 
& \Leftrightarrow 4ac - {\left( {b - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)

Đặt \(f\left( x \right) =a{x^2} + bx + c\)

Vì \(\displaystyle{\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2}\ge0\) và \(4ac - {\left( {b - 1} \right)^2} > 0\)

Do đó \(\displaystyle {\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \)

\(\Rightarrow f\left( x \right) - x\) luôn cùng dấu với \(a.\)

- Nếu \(a > 0\) thì \( f\left( x \right) - x > 0 \) \(\Rightarrow f\left( x \right) > x\) với mọi \(x.\)

Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x\) với mọi \(x.\)

Vậy không có giá trị nào của \(x\) để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)

- Nếu \(a < 0\) thì \(  f\left( x \right) - x < 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < x\) với mọi \(x\)

Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x\) với mọi \(x.\)

Vậy không có giá trị nào của \(x\) để  \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)

Vậy phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\)\(\, + c = x\) vô nghiệm.