a)\({m^2} + m + 1 = {m^2} + 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} \)\(\,= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\,\,\forall m\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm dương \({x_1},{x_2}\) phân biệt khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr
- {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(2m - 3)^2} - 4(m - 5)({m^2} + m + 1) > 0 \hfill \cr
{{ - (2m - 3)} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(1) \hfill \cr
{{m - 5} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vì \({m^2} + m + 1 > 0\) nên bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow m < \dfrac{3 }{2}\)
Bất phương trình (2) \( \Leftrightarrow m > 5\)
Do đó không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr
- {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
9{m^2} - (2 - 2m + 9{m^2}) > 0 \hfill \cr
{{6m} \over 1} > 0 \hfill \cr
{{9{m^2} - 2m + 2} \over 1} > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2m - 2 > 0 \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr
9{m^2} - 2m + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 1 \hfill \cr
\forall m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 1. \cr} \)
Vậy \(m > 1\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.
