Gọi \(h_1\) và \(h_2\) là khoảng cách từ đỉnh \(B\) và đỉnh \(A\) đến đường thẳng \(l\);
Tổng khoảng cách là \(S.\) Vì \(O\) là tâm đối xứng của hình vuông.
\(⇒ OM = ON\) (tính chất đối xứng tâm)
Suy ra: \(AM = CN\)
\(\widehat {AMP} = \widehat {DNS}\) (đồng vị)
\(\widehat {DNS} = \widehat {CNR}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {CNR}\)
Suy ra: \(∆ APM = ∆ CRN\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\(⇒ CR = AP =h_2\)
\(AM = CN\) (hai cạnh tương ứng)
\(⇒ BM = DN\)
\(\widehat {BMQ} = \widehat {DNS}\) (so le trong)
Suy ra: \(∆ BQM = ∆ DSN\) (cạnh huyền, góc nhọn) \(⇒ DS = BQ =h_1\)
\(\eqalign{ & {S_{BOA}} = {1 \over 4}{S_{ABCD}} = {1 \over 4}{a^2}\,(1) }\)
\(\eqalign{{S_{BOA}} = {S_{BOM}} + {S_{AOM}} }\)
\(\eqalign{= {1 \over 2}{b \over 2}.{h_1} + {1 \over 2}{b \over 2}.{h_2} }\)
\(\eqalign{= {b \over 4}\left( {{h_1} + {h_2}} \right)\,(2) }\)
Từ \((1)\) và \((2):\) \({h_1} + {h_2} = \dfrac{{{a^2}}}{b}\)
\(S = 2\left( {{h_1} + {h_2}} \right) = \dfrac{{2{a^2}} }{ b}\)
