\(a)\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(OO’.\)
Vì \(OO’\) là đường trung trực của \(AB\) nên \(OO’ ⊥ AB\) tại \(H\)
Ta có: \(HA = HB\)
\(I\) là trung điểm của \(OO’\) nên \(IH ⊥ AB\;\; (1)\)
Trong tam giác \(ABK,\) ta có:
\(HA = HB\) (chứng minh trên)
\(IA = IK\) (tính chất đối xứng tâm)
Suy ra \(IH\) là đường trung bình của tam giác \(ABK\)
Suy ra \(IH // BK \;\; (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(AB ⊥KB\)
\(b)\) Vì \(AB ⊥ KB\) nên \(AE ⊥ KB\)
Lại có: \(AB = BE\) ( tính chất đối xứng tâm)
Suy ra: \(KA = KE\) ( tính chất đường trung trực) \((3)\)
Ta có: \(IO = IO’\;\; (gt)\)
\(IA = IK \) ( chứng minh trên)
Tứ giác \(AOKO’\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Suy ra: \(OK // O’A\) và \(OA // O’K\)
\(CA ⊥ O’A \) (vì \(CA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’)\))
\(OK // O’A\) ( chứng minh trên)
Suy ra: \(OK ⊥ AC\)
Khi đó \(OK\) là đường trung trực của \(AC\)
Suy ra: \(KA = KC\) ( tính chất đường trung trực) \((4)\)
\(DA ⊥ OA\) ( vì \(DA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\))
\(O’K // OA\) ( chứng minh trên)
Suy ra: \(O’K ⊥ DA\)
Khi đó \(O’K\) là đường trung trực của \(AD\)
Suy ra: \(KA = KD\) ( tính chất đường trung trực) \((5)\)
Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(KA = KC = KE = KD\)
Vậy bốn điểm \(A, C, E, D\) cùng nằm trên một đường tròn.
