Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Đề bài

Cho đường  tròn \((O),\) điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \(AM, AN\) với đường tròn \((M,N\) là các tiếp điểm\().\)

\(a)\) Chứng minh rằng \(OA ⊥ MN.\)

\(b)\) Vẽ đường kính \(NOC.\) Chứng minh rằng \(MC // AO.\)

\(c)\) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(AMN\) biết \(OM = 3cm,\) \(OA = 5cm.\)

Đề bài

Cho đường tròn \((O),\) điểm \(M\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến \(MD, ME\) với đường tròn \((D, E\) là các tiếp điểm)\(.\) Qua điểm \(I\) thuộc cung nhỏ \(DE,\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \(MD\) và \(ME\) theo thứ tự ở \(P\) và \(Q.\) Biết \(MD = 4cm,\) tính chu vi tam giác \(MPQ.\)

Đề bài

Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt, điểm \(A\) nằm trên tia \(Ox.\) Dựng đường tròn \((I)\) đi qua \(A\) và tiếp xúc với hai cạnh của góc \(xOy.\)

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Gọi \(Ax, By\) là các tia vuông góc với \(AB\) \((Ax,By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB).\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc tia \(Ax.\) Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt \(By\) ở \(N.\)

\(a)\) Tính số đo góc \(MON.\)

\(b)\) Chứng minh rằng \(MN = AM  + BN.\)

\(c)\) Chứng minh rằng \(AM.BN = R^2\) \((R\) là bán kính của nửa đường tròn\().\)

Đề bài

Cho đường tròn \((I)\) nội tiếp tam giác \(ABC.\) Các tiếp điểm trên \(AC, AB\) theo thứ tự là \(D, E.\) Cho \(BC = a,\) \(AC = b,\) \(AB = c.\) Tính độ dài các đoạn tiếp tuyến \(AD, AE\) theo \(a, b, c.\)

Đề bài

Tính diện tích tam giác đều \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \((I; r).\)

Đề bài

Cho đường tròn \((O; 3cm)\) và điểm \(A\) có \(AO = 5cm.\) Kẻ các tiếp tuyến \(AB, AC\) với đường tròn \((B, C\) là tiếp điểm\().\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC.\)

\(a)\) Tính độ dài \(OH.\)

\(b)\) Qua điểm \(M\) bất kì thuộc cung nhỏ \(BC,\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(D\) và \(E.\) Tính chu vi tam giác \(ADE.\)

Đề bài

Cho đường tròn \((O; 2cm),\) các tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) kẻ từ \(A\) đến đường tròn vuông góc với nhau tại \(A\) \((B\) và \(C\) là các tiếp điểm\().\)

\(a)\) Tứ giác \(ABOC\) là hình gì\(?\) Vì sao\(?\)

\(b)\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc cung nhỏ \(BC.\) Qua \(M\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(D\) và \(E.\) Tính chu vi tam giác \(ADE.\)

\(c)\) Tính số đo góc \(DOE.\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Vẽ đường tròn \((A ; AH).\) Kẻ các tiếp tuyến \(BD,\) \(CE\) với đường tròn \((D, E\) là các tiếp điểm khác \(H).\) Chứng minh rằng:

\(a)\) Ba điểm \(D, A, E\) thẳng hàng;

\(b)\) \(DE\) tiếp xúc với đường tròn có đường kính \(BC.\)

Đề bài

Chứng minh rằng nếu tam giác \(ABC\) có chu vi \(2p,\) bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(r\) thì diện tích \(S\) của tam giác có công thức: \(S = p.r\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Đường tròn \((O)\) nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với \(AB, AC\) lần lượt tại \(D, E.\)

\(a)\) Tứ giác \(ADOE\) là hình gì\(?\) Vì sao\(?\)

\(b)\) Tính bán kính của đường tròn \((O)\) biết \(AB = 3cm, AC = 4cm\) 

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng: \(AB + AC = 2(R + r).\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC,\) đường tròn \((K)\) bằng tiếp góc trong góc \(A\) tiếp xúc với các tia \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(E\) và \(F.\) Cho \(BC = a, AC = b, AB = c.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AE  = AF = \displaystyle{{a + b + c} \over 2}\)

\(b)\) \(BE  = \displaystyle{{a + b - c} \over 2};\)

\(c)\) \(CF = \displaystyle{{a + c - b} \over 2}\)

Đề bài

Cho nửa hình tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Vẽ các tiếp tuyến \(Ax, By\) \((Ax, By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB).\) Gọi \(M\) là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại \(M\) cắt \(Ax,\) \(By\) theo thứ tự ở \(C, D.\)

\(a)\) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính \(CD\) tiếp xúc với \(AB.\)

\(b)\) Tìm vị trí của điểm \(M\) để hình thang \(ABDC\) có chu vi nhỏ nhất.

\(c)\) Tìm vị trí của \(C, D\) để hình thang \(ABDC\) có chu vi bằng \(14cm,\) biết \(AB = 4cm.\)

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Vẽ các tiếp tuyến \(Ax, By\) \((Ax, By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB).\) Qua một điểm \(M\) thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt \(Ax,\) \(By\) theo thứ tự ở \(C, D.\) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC, H\) là giao điểm của \(MN\) và \(AB.\) Chứng minh rằng:

\(a)\)  \(MN ⊥ AB;\)

\(b)\) \(MN = NH.\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với \(BC\) tại \(D.\) Chứng minh rằng: \({S_{ABC}} = BD.DC\)

Đề bài

Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn \((O ; r)\) bằng

\((A)\) \(r\sqrt 3; \)                \((B)\) \(2r\sqrt 3 ;\) 

\((C)\) \(4r\;;\)                  \((D)\) \( 2r\;.\)

Hãy chọn phương án đúng.

Đề bài

Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \((O),\) kẻ các tiếp tuyến \(AB, AC\) với đường tròn. Đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(D.\) Đường tròn đi qua \(O\) và song song với \(AC\) cắt \(AB\) ở \(E.\) Tứ giác \(ADOE\) là hình gì \(?\)