Lấy phân số bất kì \(\displaystyle {a \over b}\) với \(a > 0, b > 0.\) Không mất tính tổng quát giả sử \(0 < a ≤ b.\)
Đặt \(b = a + m\; (m ∈ Z, m ≥ 0).\)
Số nghịch đảo của \(\displaystyle {a \over b}\) là \(\displaystyle {b \over a}.\) Ta có :
\(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a} \)
\(\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a} \)
\(\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\) \((1)\)
Ta có: \(\displaystyle {m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}\) (dấu bằng xảy ra khi \(m = 0\)).
Suy ra: \(\displaystyle {a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} \)\(\displaystyle= {{a + m} \over {a + m}} = 1\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2.\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(m = 0\) hay \(a = b.\)
