a) \(y = 2 - 3x - {x^2}\)
* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
* Sự biến thiên:
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - 3x - {x^2}} \right) = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - 3x - {x^2}} \right) = - \infty \)
- Chiều biến thiên: \(y' = - 3 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{2}\)
Có \(y' > 0 \Leftrightarrow x < - \dfrac{3}{2}\) và \(y' < 0 \Leftrightarrow x > - \dfrac{3}{2}\) nên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\).
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - \dfrac{3}{2}\) và \({y_{CD}} = \dfrac{{17}}{4}\).
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;2} \right)\) và cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt.
- Là parabol nhận đường thẳng \(x = - \dfrac{3}{2}\) là trục đối xứng.
- Vẽ đồ thị:
b) \(y = {x^3} - {x^2} + x\)
* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
* Sự biến thiên:
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} - {x^2} + x} \right) = + \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - {x^2} + x} \right) = - \infty \)
- Chiều biến thiên: \(y' = 3{x^2} - 2x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó, hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Cắt trục \(Oy\) và \(Ox\) tại điểm \(\left( {0;0} \right)\).
- Có \(y'' = 6x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow y = \dfrac{7}{{27}}\) nên điểm uốn \(U\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{7}{{27}}} \right)\).
- Đi qua các điểm \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( { - 1; - 3} \right)\)
- Vẽ đồ thị:
c) \(y = - {x^4} + 2{x^3} + 3\)
* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
* Sự biến thiên:
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4} + 2{x^3} + 3} \right) = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^4} + 2{x^3} + 3} \right) = - \infty ;\)
- Chiều biến thiên: \(y' = - 4{x^3} + 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
Có \(y' > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}\) và \(y' < 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{2}\) nên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\dfrac{3}{2}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\).
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \dfrac{3}{2}\) và \({y_{CD}} = \dfrac{{75}}{{16}}\), không có cực tiểu.
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;3} \right)\), cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt, trong đó có điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).
- Đi qua điểm \(\left( {1;4} \right)\).
- Vẽ đồ thị:
