a) * Tập xác định:\(D = \mathbb{R}\),
* Chiều biến thiên:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \)
+) \(y' = - 3{x^2} + 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 1),(1; + \infty )\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 3\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1,{y_{CT}} = - 1\).
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
+) Có \(y'' = - 6x\); \(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1\) nên điểm uốn \(U\left( {0;1} \right)\).
+) Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\).
+) Vẽ đồ thị:
b) Tịnh tiến \(\left( C \right)\) song song với trục \(Ox\) sang trái \(1\) đơn vị, ta được đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) của hàm số \(y = f(x) = - {(x + 1)^3} + 3(x + 1) + 1\) hay \(f(x) = - {(x + 1)^3} + 3x + 4\) \(\left( {{C_1}} \right)\).
Lấy đối xứng \(\left( {{C_1}} \right)\) qua trục \(Ox\), ta được đồ thị \(\left( {C'} \right)\) của hàm số \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)
c) Ta có: \({(x + 1)^3} = 3x + m\)\( \Leftrightarrow {(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4\)
Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đường \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\) \(\left( {C'} \right)\;\) và\(y = m-4\)\(\left( {{d_1}} \right)\)
Từ đồ thị, ta suy ra:
+) Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m - 4 < - 3\\m - 4 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\) thì phương trình đã cho có một nghiệm.
+) Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m - 4 = - 3\\m - 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\) phương trình đã cho có hai nghiệm.
+) Nếu\( - 3 < m - 4 < 1 \Leftrightarrow 1 < m < 5\), phương trình đã cho có ba nghiệm.
d) Vì \(\left( d \right)\) vuông góc với đường thẳng \(y = - \dfrac{x}{9} + 1\) nên ta có hệ số góc bằng \(9\).
Ta có: \(g'(x) = 3{(x + 1)^2} - 3\)
\(g'(x) = 9 \Leftrightarrow 3{\left( {x + 1} \right)^2} - 3 = 9\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = - 3 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\)
+ Với \(x = 1,y = 1\) ta có tiếp tuyến: \(y = 9\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = 9x - 8\).
+ Với \(x = - 3,y = - 3\) ta có tiếp tuyến: \(y = 9\left( {x + 3} \right) - 3\) hay \(y = 9x + 24\).
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là: \(y = 9x - 8\) và \(y = 9x + 24\).
