\(a)\) \(A = 4x - {x^2}+ 3 = 7 - {x^2} + 4x - 4 \)\(= 7 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2}\)
Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \(A = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 7\)
Vậy giá trị của \(A\) lớn nhất là \(7\) tại \(x = 2\)
\(b)\) \(B = x - {x^2}\)\( =\displaystyle {1 \over 4} - {x^2} + x - {1 \over 4}\)\( = \displaystyle{1 \over 4} - \left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) \)\(=\displaystyle {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2}\)
Vì \({\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B =\displaystyle {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(B\) là \(\displaystyle{1 \over 4}\) tại \(x = \displaystyle{1 \over 2}\)
\(c)\) \(N = 2x - 2{x^2} – 5\) \( = - 2\left( {{x^2} - x +\displaystyle {5 \over 2}} \right)\)\( = \displaystyle - 2\left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\)
\( = - 2\left[ {{{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)}^2} + \displaystyle{9 \over 4}} \right]\)\( = - 2{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} - \displaystyle {9 \over 2}\)
Vì\({\left( {x -\displaystyle {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên\( - 2{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)
Suy ra: \(N = - 2{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} - \displaystyle{9 \over 2} \le - {9 \over 2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(N\) là \( - \displaystyle{9 \over 2}\) tại \(x = \displaystyle{1 \over 2}\)
