Bài 20 trang 7 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

\(a)\) \(A = 4x - {x^2} + 3\)

\(b)\) \(B = x - {x^2}\)

\(c)\) \(N = 2x - 2{x^2} - 5\)

Lời giải

\(a)\) \(A = 4x - {x^2}+ 3 = 7 - {x^2} + 4x - 4 \)\(= 7 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2}\)

Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\)  

Suy ra: \(A = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 7\)

Vậy giá trị của \(A\) lớn nhất là \(7\) tại \(x = 2\)

\(b)\) \(B = x - {x^2}\)\( =\displaystyle {1 \over 4} - {x^2} + x - {1 \over 4}\)\( = \displaystyle{1 \over 4} - \left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) \)\(=\displaystyle {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2}\)

Vì \({\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B =\displaystyle {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(B\) là \(\displaystyle{1 \over 4}\) tại \(x = \displaystyle{1 \over 2}\)

\(c)\) \(N = 2x - 2{x^2} – 5\) \( =  - 2\left( {{x^2} - x +\displaystyle {5 \over 2}} \right)\)\( = \displaystyle - 2\left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\)

   \( =  - 2\left[ {{{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)}^2} + \displaystyle{9 \over 4}} \right]\)\( =  - 2{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} - \displaystyle {9 \over 2}\)

Vì\({\left( {x -\displaystyle {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)  nên\( - 2{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)

Suy ra: \(N =  - 2{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} - \displaystyle{9 \over 2} \le  - {9 \over 2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(N\) là \( - \displaystyle{9 \over 2}\)  tại \(x = \displaystyle{1 \over 2}\)


Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”