a) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và \(\sqrt {10} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt 6 + 3 \cr
& = 5 + 2\sqrt 6 \cr} \)
Và \({\left( {\sqrt {10} } \right)^2} = 10 = 5 + 5\)
So sánh \(2\sqrt 6 \) và \(5\):
Ta có: \({\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = {2^2}.{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 4.6 = 24\)
\({5^2} = 25\)
Vì \({\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} < {5^2}\) nên \(2\sqrt 6 < 5\)
Vậy:
\(\eqalign{
& 5 + 2\sqrt 6 < 5 + 5 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} < {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \cr
& \Rightarrow \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt {10} \cr} \)
b) \(\sqrt 3 + 2\) và \(\sqrt 2 + \sqrt 6 \)
Ta có:
\({\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} \)\(= 3 + 4\sqrt 3 + 4 = 7 + 4\sqrt 3 \)
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt {12} + 6 \cr
& = 8 + 2\sqrt {4.3} = 8 + 2.\sqrt 4 .\sqrt 3\cr &= 8 + 4\sqrt 3 \cr}\)
Vì \(7 + 4\sqrt 3 < 8 + 4\sqrt 3 \) nên \({\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} < {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2}\)
Vậy \(\sqrt 3 + 2\) < \(\sqrt 2 + \sqrt 6 \)
c) \(16\) và \(\sqrt {15} .\sqrt {17} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {15} .\sqrt {17} = \sqrt {16 - 1} .\sqrt {16 + 1} \cr
& = \sqrt {(16 - 1)(16 + 1)} = \sqrt {{{16}^2} - 1} \cr} \)
Và \(16 = \sqrt {{{16}^2}} \)
Vì \(\sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}} \) nên \(16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} \)
Vậy \(16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} \).
d) \(8\) và \(\sqrt {15} + \sqrt {17} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} = 15 + 2\sqrt {15.17} + 17 \cr
& = 32 + 2\sqrt {15.17} \cr} \)
Và \({8^2} = 64 = 32 + 32\)
So sánh \(16\) và \(\sqrt {15.17} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {15.17} = \sqrt {(16 - 1)(16 + 1)} \cr
& = \sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}} \cr} \)
Vì \(16 > \sqrt {15.17} \) nên \(32 > 2\sqrt {15.17} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& 64 > 32 + 32 + 2.\sqrt {15.17} \cr
& \Rightarrow {8^2} > {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} \cr} \)
Vậy \(8 > \sqrt {15} + \sqrt {17} \).
