a) Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\({x^2} - 4 \ge 0\) và \(x - 2 \ge 0\)
Ta có: \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 2) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x + 2 \ge 0 \hfill \cr
x - 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 2 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2(1)\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
x + 2 \le 0 \hfill \cr
x - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2(2)\)
Mà \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2(3)\)
Vậy từ (1), (2), (3) thì \(x ≥ 2\) thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \cr
& = \sqrt {(x + 2)(x - 2)} + 2\sqrt {x - 2} \cr}\)
\(= \sqrt {x - 2} .\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)\)
b) Ta có: \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\(x + 3 \ge 0\) và \({x^2} - 9 \ge 0\)
Ta có: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -3\)
\({x^2} - 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 3) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x + 3 \ge 0 \hfill \cr
x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 3 \hfill \cr
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
x + 3 \le 0 \hfill \cr
x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le - 3 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 3\)
Vậy với \(x ≥ 3\) thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{
& 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \cr
& = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x - 3)} \cr} \)
\(= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x - 3} } \right)\)
