* Phân tích
− Giả sử dựng được đường tròn \((O)\) qua \(A,\) \(B\) và tiếp xúc với \(d.\) Khi đó đường tròn \((O)\) phải tiếp xúc với \(d\) tại \(A.\)
− Đường tròn \((O)\) đi qua \(A\) và \(B\) nên tâm \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)
− Đường tròn \((O)\) tiếp xúc với \(d\) tại \(A\) nên điểm \(O\) nằm trên đường thẳng vuông góc với \(d\) tại điểm \(A.\)
* Cách dựng
− Dựng đường thẳng trung trực của \(AB.\)
− Dựng đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d.\) Đường thẳng này cắt đường trung trực của \(AB\) tại \(O.\)
− Dựa đường tròn \(( O; OA)\) ta được đường tròn cần dựng.
* Chứng minh
Vì \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) nên \(OA = OB.\) Khi đó đường tròn \((O; OA)\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B.\)
Ta có: \(OA\) vuông góc với \(d\) tại \(A\) nên \(d\) là tiếp tuyến của \((O).\)
Vậy \((O)\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
* Biện luận: Ta luôn dựng được một đường tròn thỏa mãn điều kiện của đề bài.
