\(a)\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AH\)
Tam giác \(AEH\) vuông tại \(E\) có \(EO\) là đường trung tuyến nên:
\( EO = OA = OH =\displaystyle{{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông)
Vậy điểm \(E\) nằm trên đường tròn \(\left( \displaystyle{O;{{AH} \over 2}} \right)\)
\(b)\) Ta có: \(OH = OE\)
suy ra tam giác \(OHE\) cân tại \(O\)
suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\) \( (1)\)
Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh) \((2)\)
Trong tam giác \(BDH\) ta có:
\(\widehat {HDB} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) \((3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra:
\(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \) \((4)\)
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AD ⊥ BC\) nên \(BD = CD\)
Tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) có \(ED\) là đường trung tuyến nên:
\(ED = BD = \displaystyle{{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông).
Suy ra tam giác \(BDE\) cân tại \(D\)
Suy ra: \(\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\) \((5)\)
Từ \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \)
Suy ra: \(DE ⊥ EO.\) Vậy \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
