Vì \(ABCD \) là hình bình hành (giả thiết)
\( \Rightarrow A{\rm{D}}//BC, A{\rm{B}}//DC,\)\( A{\rm{D}}=BC, A{\rm{B}}=DC \) (tính chất hình bình hành)
Mà \(E \in A{\rm{D}}\) (giả thiết) \( \Rightarrow AE//BC\)
Vì \(E\) là điểm đối xứng với \(D\) qua điểm \(A\) (giả thiết)
\( \Rightarrow AE = A{\rm{D}}\) (tính chất hai điểm đối xứng qua 1 điểm)
\( \Rightarrow \) \(AE = BC\) (cùng bằng \(AD\))
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ACBE\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
\( \Rightarrow \) \(BE // AC, BE = AC\) (1) (tính chất hình bình hành)
Ta có: \(AB//DC\) (chứng minh trên) \(\Rightarrow AB//CF\)
Vì \(F\) là điểm đối xứng với \(D\) qua điểm \(C\) (giả thiết)
\( \Rightarrow CD = CF\) (tính chất hai điểm đối xứng qua 1 điểm)
\( \Rightarrow AB = CF\) (cùng bằng \(DC\))
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ACFB\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
\( \Rightarrow \) \(BF // AC, BF = AC\) (2) (tính chất hình bình hành)
Từ (1) và (2) suy ra \(BE\) và \(BF\) cùng song song với \(AC\) và cùng đi qua điểm \(B\) nên theo tiên đề Ơclit \(BE\) trùng \(BF\) hay \(B, E, F\) thẳng hàng.
Lại có: \(BE\) = \(BF\) (cùng bằng \(AC\)) do đó \(B\) là trung điểm của \(EF\)
Vậy \(E\) đối xứng với \(F\) qua \(B\).
