a) Vì \(I\) là giao điểm phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) nên \(AI\) là tia phân giác của \(Â.\)
\( \Rightarrow ID = IE\) (tính chất tia phân giác) (1)
\(∆ADI \) vuông tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 45^\circ \)
Nên \(∆ADI\) vuông cân tại \(D.\)
\( \Rightarrow ID = DA\) (2)
\(∆AEI\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \)
Nên \(∆ AEI\) vuông cân tại \(E\)
\( \Rightarrow IE = AE\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AD = AE\)
b) Trong tam giác vuông \(ABC\) có \( Â=90°\)
Theo định lý Pitago ta có:
\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \)
\( \Rightarrow BC = 10 \,(cm)\)
Kẻ \(IF \bot BC\)
Xét hai tam giác vuông \(IDB\) và \(IFB:\)
+) \( \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \)
+) Cạnh huyền \(BI\) chung
Do đó: \(∆IDB = ∆IFB\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow DB = FB \) (4)
Xét hai tam giác vuông \(IEC\) và \(IFC:\)
+) \( \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \)
+) Cạnh huyền \(CI\) chung
Do đó: \(∆IEC = ∆IFC\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow CE = CF\) (5)
Mà \(AD + AE \)\(= AB – DB + AC – CE\)
\( \Rightarrow AD + AE \)\(= AB + AC – (DB + CE)\) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra:
\(AD + AE = AB + AC – (FB + FC)\)\( = AB + AC – BC\)
\(AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4\) (cm)
Mà \(AD = AE\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow AD = AE = 4: 2 = 2 (cm)\)
