Cắt dây trói cứu A Phủ, Mị cũng đã cắt dây trói buộc cuộc đời mình với nhà Pá Tra

Đề bài: Cắt dây trói cứu A Phủ, Mị cũng đã cắt dây trói buộc cuộc đời mình với nhà Pá Tra. BÀI LÀMVợ chồng A Phủ là một truyện ngắn trong tập "Truyện Tây Bắc" cùa Tô Hoài được giải nhất tiểu thuyết, giải thưởng Hội văn nghệ Việt Nam 1954-1955

Lời giải

Đề bài: Cắt dây trói cứu A Phủ, Mị cũng đã cắt dây trói buộc cuộc đời mình với nhà Pá Tra.

BÀI LÀM

        Vợ chồng A Phủ là một truyện ngắn trong tập "Truyện Tây Bắc" cùa Tô Hoài được giải nhất tiểu thuyết, giải thưởng Hội văn nghệ Việt Nam 1954-1955. Tác phẩm ra đời từ kết quả cuộc thâm nhập đời sống đồng bào các dân tộc miền núi Tây Bắc, kể về cuộc đời khốn khó chăm chiều của người dân vùng cao khi chưa có ánh sáng của Đảng. Đọc "Vợ chồng A Phủ", ta không thể quên được chi tiết Mị cắt dây trói cứu A Phủ - một chi tiết làm nên mọi giá trị tác phẩm. Và đúng như ai đó đã từng nói, khi cắt dây cứu A Phủ, Mị đã tự cắt dây trói buộc cuộc đời mình với nhà thông lí Pá Tra.

        Câu chuyện về Mị, được bắt đầu từ một hình ảnh rất giàu sức gợi: “Ai ở xa về, có việc vào nhà thống lí Pá Tra, thường thấy có một cô gái ngồi quay sợi bên tảng đá, cạnh tàu ngựa. Lúc nào cũng vậy, dù quay sợi gai, thái cỏ ngựa, vải, chẻ củi hay cõng nước dưới khe lên, cô ấy cũng cúi mặt, mặt buồn rượi”, chỉ với hai câu văn giản dị ấy thôi, bản chất sự việc đã hiện lên khá nét. Câu văn cũng như dài thêm ra để độc giả lĩnh hội một cách thâu đáo. Vị trí xuất hiện của Mị đã nói lên tất cả, ngồi quay sợi gai bên tảng đá, cạnh tàu ngựa, thậm chí còn như gắn liền với chúng.

        Mị vốn là một cô gái con nhà nghèo - “nghèo từ trong trứng”; cô trẻ giàu lòng yêu đời, ham sống và có tài thổi sáo; Mị còn là một cô gái chăm lả một đứa con hiếu thảo... Nhưng, một thứ “nợ gia truyền” của người nghèo, cô phải “đi tù khổ sai” trong nhà thống lí Pá Tra, dưới hình thức làm dâu gạt nợ. Biết bao thân phận người dân miền núi, đã bị trả giá bằng cả đời người như bởi hình thức cho vay nặng lãi.

       Thời gian đầu, khi mới ở “nhà tù Pá Tra”. Mị đau đớn, uất ức, phản quyết liệt. “Có đến mấy tháng, đêm nào Mị cũng khóc”. Cô không thể chấp nhận làm thân phận nô lệ cho nhà giàu. Nhưng, tất cả đã thành định mệnh Nàng Kiều của Nguyễn Du, trước khi dấn thân vào cuộc đời ô nhục, cũng một lần nghĩ đến quyên sinh, mà cũng không thoát khỏi kiếp đoạ đày 15 năm đây, Mị còn khổ hơn, bởi món nợ vẫn còn đây, đổ lên đầu bố già.

      Ở địa ngục trần gian nhà Pá Tra, bao vất vả, cực nhọc nhất đổ lên đầu. Mấy năm sau khi bố già qua đời, Mị cũng không nghĩ đến cái chết nữa, bởi vì “Mị quen cái khổ rồi. Bây giờ Mị tưởng như minh cũng là con trâu, con ngựa (...) biết việc ăn cỏ, biết đi làm mà thôi”. Đời Mị chí là công việc nối tiếp nhau, mỗi năm, mỗi mùa, mỗi tháng cứ thế làm đi làm lại: tết xong thì hái thuốc phiện, năm thì giặt đay, xe đay, cuối mùa thì bẻ bắp... thêm vào sự đoạ đày thể xác ấy còn là ách áp chế về tinh thần mê tín, thần quyền đã hỗ trợ rất đắc lực cho giai cấp thống trị. Nó thực sự là thứ “thuốc phiện tinh thần” như lời Mác nói.

      Không chỉ dừng lại ở đó, ở tầng sâu hơn ngòi bút Tô Hoài còn nêu lên một sự thực đau lòng: con người bị áp bức, nếu cứ nhẫn nhục chịu đựng, kéo dài đến một lúc nào đó, sẽ bị tê liệt cả tinh thần phản kháng. “Mỗi ngày Mị càng không nói, lùi lũi như con rùa nuôi trong xó cửa” thật không ở đâu mạng sống, nhân cách con người bị coi rẻ đến thế! Cũng không ở đâu, con người lại tự mình coi rẻ mình một cách tuyệt vọng như vậy. Mị cam chịu thân phận con rùa trong xó chỉ biết ngồi trong cái buồng kín mít, trông ra cửa sổ vuông mờ mờ trăng trắng, “đến bao giờ chết thì thôi”.

      Như đã nói ở phần đầu, Mị có một tuổi trẻ hạnh phúc, một khái khao làm chủ cuộc sống tính cách ấy, phẩm chất ấy không bao giờ chết, nó chỉ lạm thời bị đè lén xuống. Và ngọn gió để thổi bùng lên đốm lửa trong lòng Mị, là hoàn cảnh  điển hình: mùa xuân về trên vùng cao: “Hồng Ngài năm ấy, ăn tết vào lúc gió thổi cỏ gianh vàng ửng, gió và rét rát dữ dội”. Dầu trong thời tiết khắc nghiệt, mùa xuân về cũng đem đến cho người dân vùng cao một niềm vui sống, được Sức sống của tạo vật và con người như bừng tỉnh: “trong các làng Mèo đỏ, những chiếc váy hoa đã đem ra treo trên các mỏm đá, xoè ra như con bướm sặc sỡ. Hoa thuốc phiện vừa nở trắng, lại đổi ra màu đỏ au, đỏ thậm, rồi sang màu tím man mát. Đám trẻ đợi Tết, chơi quay, cười ầm trên sân chơi trước nhà...”Sức mạnh của ngòi bút nhân đạo Tô Hoài không chỉ dừng lại ở tình cảm xót thương Mị, ở sự tố cáo tính tàn bạo của giai cấp thống trị, mà còn ở chỗ nhìn ra con người bên trong của nhân vật. Ông đã tìm sâu vào tận cùng của ý thức và trong đáy sâu của tiềm thức nhân vật, cho thấy vẫn còn le lói chút ánh sáng, hơi ấm của niềm ham sống, khát khao hạnh phúc, như lớp cho dày nguội lạnh vẫn còn ủ chút than hồng, lớp than ấy chỉ cần ngọn gió thoáng qua là bùng lên. Tô Hoài đã góp thêm vào truyền thống nhân đạo trong nền văn học dân tộc một tiếng nói có quyền năng và sức tái tạo riêng.

      Hoàn cảnh ấy không thể tác động vào tâm hồn Mị. Trong các yếu tố “ngoại của mùa xuân, phải kể đến tiếng sáo: “ngoài đầu núi lấp ló đã có tiếng ai sáo gọi bạn đi chơi. Mị nghe tiếng sáo vọng lại, thiết tha bồi hồi...”. Như vậy, với Mị, tiếng sáo là biểu tượng lôi cuốn nhất của tình yêu, khát vọng ham sống. Trong không khí ấy Mị lại được kích động bởi men rượu: “Mị lén lấy hũ rượu, cứ uống ực từng bát”. Cách uống rượu ấy như báo trước sự nổi loạn mà chính Mị cũng chưa ý thức rõ: “Rồi say, Mị lịm mặt ngồi đấy nhìn mọi người nhảy đồng (...), còn Mị thì đang sống về ngày trước”.

      Bằng việc nhớ lại quá khứ, Mị đã vượt qua tình trạng sống “phi thời gian” lâu nay của mình. Tiếp đó, lòng ham sống trong cô trỗi dậy mãnh liệt: “Mị thấy phơi phới trở lại”. Phản ứng đầu tiên đến trong tâm trí Mị là một ý nghĩ: “Nếu có nắm lá ngón trong tay lúc này, Mị sẽ ăn cho hết ngay, chứ không thèm nhớ lại nữa…” ý nghĩ về cái chết lúc này, là sự phản kháng quyết tiệt với hoàn cảnh.

      Trong khi ấy, tiếng sáo gọi bạn tình cứ thôi thúc, quyến rũ Mị. Nó là biểu tượng của sự sống mà bấy lâu nay Mị đã quên, giờ đang trở lại. Tiếng sáo theo sát diễn biến tâm trạng nhân vật. Tiếng sáo từ chỗ là một sự việc của thực tại bên ngoài (lơ lửng bay ngoài đường), đã trở thành sự hiện hữu của đời sống bên trong (rập rờn trong đầu).

      Từ những chuyển biến trong suy nghĩ, Mị đã có một hành động thật ý nghiã “Mị đến góc nhà, lấy ống mỡ, xắn một miếng bỏ vào đèn cho thêm sáng. Hành động này có ý nghĩa là Mị đã thắp lên một ngọn đèn, soi rọi cuộc sống tối tăm triền miên của quá khứ.

      Giữa lúc lòng ham sống trỗi dậy mãnh liệt, cũng là lúc nó bị vùi dập một cách tàn bạo. A Sử bước vào, thản nhiên xách ra một thúng sợi đay, trói đứng Mị vào cột nhà.

      Suốt cái đêm bị trói đứng vào cột nhà ấy, Mị đã sống trong sự giằng xé mãnh liệt giữa niềm khao khát hạnh phúc cháy bỏng và thực tại tàn bạo, lạnh lùng. Lúc mới bị trói, Mị vẫn còn như sống trong tâm trạng mê say với tiếng sáo ngoài kia. Mị như quên mình đang bị trói, quên những đau đớn thể xác, đến nỗi trong giây phút khát khao cuộc sống mãnh liệt, Mị đã “vùng bước đi”. Như thực tế phũ phàng là vòng dây trói đang thít chặt, dẫu mong ước mãnh liệt đến mấy, Mị cũng không vượt qua được. Hai biểu tượng của ước mơ và thực tại hiện ra trong hai âm thanh trái ngược, tiếng sáo gọi bạn tình tha thiết và tiếng chân ngựa đạp vào vách khô khan.

     “Mị không nghe tiếng sáo nữa, chỉ còn nghe tiếng chân ngựa đạp vào vách (...) Mị thổn thức nghĩ mình không bằng con ngựa”- thực tại phũ phàng đã bóp nghẹt những khát vọng tươi sáng. Kết cục ấy nói lên rằng, chỉ có những phản kháng tự phát, nhân vật không tự giải thoát cho mình; đồng thời nó cũng hứa hẹn những cuộc nổi loạn trong tương lai của nhân vật.

      Sau đêm xuân bị trói đứng, tình cảm u mê của Mị có phần trầm trọng. Trước cảnh A Phủ bị trói đứng, lúc đầu Mị là người hoàn toàn vô cảm, vô hồn, cô vẫn thản nhiên thổi lửa hơ tay. A Phủ có là cái xác chết đứng đây, Mị cũng thế thôi. Đôi mắt mở trừng trừng của A Phủ chẳng gợi lên cho Mị một điều gì. Nhưng như đã nói ở đoạn trên, khát vọng đi theo tiếng gọi tự đo hãy còn đó hồn Mị. Không phải ngẫu nhiên, hình ảnh ngọn lửa được tác giả lặp đi lặp nhiều lần trong một đoạn văn miêu tả tâm lí nhân vật khá sâu sắc, tinh tế.

     Nhưng, cái gì đã khiến Mị trở lại với con người thật của mình? Một lần trở dậy, “ngọn lửa bập bừng sáng lên, Mị hé mắt trông sang thấy hai mắt A Phủ : vừa mở, một dòng nước mắt lấp lánh bò xuống hai gò má đã xám đen lại”. Chao ôi! nước mắt. Cái giọt đau, giọt khổ ấy đã làm Mị “chợt nhớ lại” việc Mị bị trói đứng năm trước, cũng nước mắt chảy xuống miệng, xuống cổ không lau đi được; Mị lại nhớ đến người đàn bà đã bị trói chết trong nhà này, và A Phủ chỉ đêm nay là chết thôi. Tết năm trước đã thế, lần này, trí nhớ của Mị lại loé lên cách vô thức. Và như một phản ứng dây chuyền, nó nối lại ba số phận. Mị không còn sống với ngọn lửa nữa. Lửa vạc đi mà cô không thổi. Mị chìm vào tưởng tượng. Mị nghĩ mình có thể chết thay cho A Phủ. Cô đã đứng lên trong một ý thức chấp nhận sự hi sinh về mình: lấy con dao nhỏ cắt cho A Phủ. Đó là đỉnh cao của đời Mị và cũng là nơi tập trung giá trị nhân văn. Hành động của Mị, tuy không thể đoán trước nhưng vẫn nằm trong sức sống nội tại nhân vật. Mị nguyện làm rẫy, chịu khổ để trả nợ cho bố, đã toan chết để tìm sự giải thoát thì lẽ nào lại không dám chết để cứu một con người vô tội?

     Nhưng, tính cách Mị có sự hợp lí, quy luật mà vẫn gây cho ta sự bất ngờ, ngạc nhiên thú vị. Vừa mới nghĩ đến việc có thể chết thay cho A Phủ, nhưng khi A Phủ chạy đi, Mị đứng lặng trong bóng tối rồi cũng chạy theo. Một kết cấu chặt chẽ: Mị đã cứu A Phủ, thì tại sao lại không tự cứu mình ? và “hai người lẳng lặng đỡ nhau lao xuống núi”.

      Thực chất, quá trình Mị cắt dây trói và chạy theo A phủ là một quá trình tự nhận thức: Nhận thức tại xã hội tàn bạo, lạnh lùng. Mị cứu A Phủ bởi cô thấy sự bất công, phi lí sắp giết chết một con người vô tội và nhận thức “người” cũng là để qua đó nhận thức, soi sáng “mình” cho nên, có thể nói, Mị cắt dây trói cứu A Phủ, cũng là Mị đã tự cắt dây trói buộc cô với nhà thống lí Pá Tra. Điều đó hoàn toàn đúng với lí luận cũng như thực tiễn thời đại. Dòng đầu liên của tuyên ngôn các Đảng cộng sản F. Ăng ghen từng khẳng định: “Lịch sử loài người là lịch sử đấu tranh giai cấp, áp bức bóc lột của giai cấp thống trị càng nặng nề, sự vùng lên đấu tranh càng mạnh mẽ.”

Phạm Thanh

Trường THPT Hàm Rồng


Bài Tập và lời giải

Đề số 1 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bài 1: 

1) Thực hiện phép tính:

a) \(\sqrt 8  - 2\sqrt {18}  + 5\sqrt {32}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} \)

b) \(\dfrac{{5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7  - 1}} - \left( {\sqrt 5  + \sqrt 7 } \right)\)

2) Giải phương trình: \(x - \sqrt {x - 15}  = 17\).

Bài 2:  Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x + \sqrt x  - 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

b) So sánh \(P\) với \(\sqrt P \) với điều kiện \(\sqrt P \)có nghĩa

c) Tìm \(x\) để \(\dfrac{1}{P}\) nguyên.

Câu 3:  Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)  :y = \left( {m - 1} \right)x + 2m + 1\).

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \({d_1}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là \( - 3\). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và chứng tỏ giao điểm của đồ thị hàm số vừa tìm được với đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 1\) nằm trên trục hoành.

b) Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \({d_1}\) đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4:   Cho điểm M  bất kì trên đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại M và tại B của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại D. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt MD tại C và cắt BD tại N.

a) Chứng minh \(DC = DN\).

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

c) Gọi H  là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB, I  là trung điểm MH. Chứng minh B, C, I  thẳng hàng.

d) Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt \(\left( O \right)\) tại K  (KM nằm khác phía với đường thẳng AB ). Tìm vị trí của M để diện tích tam giác MHK  lớn nhất.

Bài 5: 

            Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + 2y + 3z \ge 20\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\).

d) Qua kẻ đường vuông góc với AB,  cắt \(\left( O \right)\) tại K  (K và M nằm khác phía với đường thẳng AB). Tìm vị trí của M để diện tích tam giác MHK  lớn nhất.

Gọi P  là giao điểm của MK và AB.

Không mất tính tổng quát, ta chọn bán kính đường tròn bằng 1, giả sử độ dài đoạn \(OH = a\;\;\left( {0 < a < 1} \right).\)

\( \Rightarrow MH = \sqrt {O{M^2} - O{H^2}}  = \sqrt {1 - {a^2}} \).

Có MH song song với OK  (do cùng vuông góc với AB)

\( \Rightarrow \dfrac{{PH}}{{PO}} = \dfrac{{MH}}{{OK}} = \dfrac{{\sqrt {1 - {a^2}} }}{1} \Rightarrow PH = \sqrt {1 - {a^2}} .OP.\)

Ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{PH}}{{PO}} = \sqrt {1 - {a^2}} \\PH + PO = OH = a\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PO = \dfrac{{PH}}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}\\PH + \dfrac{{PH}}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} = a\end{array} \right.\\ \Rightarrow PH = \dfrac{{a.\sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}}\\ \Rightarrow OP = \dfrac{a}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{MHK}} = {S_{MHP}} + {S_{PKH}} = \dfrac{1}{2}MH.HP + \dfrac{1}{2}OK.HP\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {1 - {a^2}} .\dfrac{{a\sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}} + 1.\dfrac{{a\sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}a\sqrt {1 - {a^2}} .\dfrac{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}} = \dfrac{1}{2}a\sqrt {1 - {a^2}} .\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: \(a\sqrt {1 - {a^2}}  \le \dfrac{{{a^2} + 1 - {a^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = \sqrt {1 - {a^2}}  \Rightarrow a = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \)

\(\Rightarrow \cos \angle MOH = \dfrac{{OH}}{R} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \angle MOH = {45^o}\).

Vậy M là điểm nằm trên đường tròn sao cho \(\angle MOH = {45^o}\) là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5:

            Cho các số thực dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn \(x + 2y + 3z \ge 20\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\).

Ta có: \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\)\(\, = \dfrac{1}{4}x + \left( {\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{x}} \right) + \dfrac{1}{2}y + \left( {\dfrac{1}{2}y + \dfrac{9}{{2y}}} \right) + \dfrac{3}{4}z + \left( {\dfrac{1}{4}z + \dfrac{4}{z}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương ta có:

\(\begin{array}{l} + )\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{3}{4}x.\dfrac{3}{x}}  = 3\\ + )\dfrac{1}{2}y + \dfrac{9}{{2y}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{2}y.\dfrac{9}{{2y}}}  = 3\\ + )\dfrac{1}{4}z + \dfrac{4}{z} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{4}z.\dfrac{4}{z}}  = 2\end{array}\)

\( \Rightarrow A \ge \dfrac{1}{4}\left( {x + 2y + 3z} \right) + 3 + 3 + 2 = \dfrac{{20}}{4} + 3 + 3 + 2 = 13\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{4}x = \dfrac{3}{x}\\\dfrac{1}{2}y = \dfrac{9}{{2y}}\\\dfrac{1}{4}z = \dfrac{4}{z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\).

Xem lời giải

Đề số 2 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bài 1:  . Thực hiện các phép tính

a) \(2\sqrt {75}  - 3\sqrt {27}  - \dfrac{1}{4}\sqrt {192} \). 

b) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}} \).

c) \(\dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }}\). 

d) \(\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}} \right).\left( {\sqrt x  - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right)\left( {x > 0;x \ne 4} \right)\).

Bài 2:  Cho hai hàm số bậc nhất \(y =  - \dfrac{1}{2}x\) có đồ thị là \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(y = 2x - 5\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\)

a) Vẽ \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Cho đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):y = ax + b.\) Tìm \(a,b\) để \({d_3}//{d_1}\) và cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại một điểm có tung độ bằng 3.

Bài 3: .Tìm \(x\) biết \(\sqrt {4x - 20}  = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}}  - 2\).

Bài 4: Năm nay số dân ở một thành phố  A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.

Bài 5: Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ \({30^o}\). Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài \(20m\). Hỏi cái cây đó cao bao nhiêu mét ? (làm tròn tới phần thập phân thứ nhất).

Bài 6:  Từ điểm \(M\) nằm ở ngoài đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) với \(OM > 2R\), vẽ hai tiếp tuyến \(MA,MB\;\;(A,B\)là hai tiếp điểm). Gọi \(H\)là giao điểm của \(AB,OM\)

a)Nếu cho \(OM = R\sqrt 5 \). Tính độ dài đoạn \(MA\) theo \(R\) và số đo \(\angle AOM\) (làm tròn tới độ).

b)Chứng minh bốn điểm \(M,A,O,B\) thuộc một đường tròn.

c)Gọi \(AC\) là đường kính của đường tròn\(\left( O \right)\), tia \(CH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(N\). Chứng minh \(4OH.OM = A{C^2}\).

d) Chứng minh rằng đường thẳng \(AN\) đi qua trung điểm của \(MH\)

Suy ra \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {4;3} \right)\)\( \Rightarrow 4.\dfrac{{ - 1}}{2} + b = 3 \Rightarrow b = 5\;\;\left( {tm} \right).\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\)là: \(y =  - \dfrac{1}{2}x + 5\).

Bài 3:

Tìm \(x\) biết \(\sqrt {4x - 20}  = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}}  - 2\).

ĐKXĐ: \(x \ge 5\)

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \sqrt {4x - 20}  = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}}  - 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5}  = 7.\sqrt {\dfrac{1}{9}} .\sqrt {x - 5}  - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{3}\sqrt {x - 5}  - 2\sqrt {x - 5}  = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5}  = 6\\ \Leftrightarrow x - 5 = 36\;\;\;\left( {do\;\;6 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x = 41\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(x = 41\) là nghiệm của phương trình.

Bài 4:

Năm nay số dân ở một thành phố  A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.

Cách 1: Áp dụng công thức trên ta có só dân của thành phố sau 2 năm là:

\({P_2} = 2000000.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^2} = 2020050\) người

Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.

Cách 2:

Dân số của thành phố A sau 1 năm là: \(2000000 + 2000000.0,5\%  = 2010000\) người.

Dân số của thành phố A sau 2 năm là: \(2010000 + 2010000.0,5\%  = 2020050\) người.

Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.

Bài 5:Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ \({30^o}\). Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài \(20m\). Hỏi cái cây đó cao bao nhiêu mét ? (làm tròn tới phần thập phân thứ nhất)

Ta có hình vẽ minh họa:

 

Trong đó đoạn thẳng AB là độ dài của bóng cây, đoạn BC là chiều cao của cây

Xét tam giác ABC vuông tại B có: \(\tan \alpha  = \tan {30^o} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{h}{{20}} \Rightarrow h = 20.\tan {30^o} = 11,5\left( m \right)\)

Vậy chiều cao của cây là: \(h = 11,5m\)

Bài 6:Từ điểm \(M\) nằm ở ngoài đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) với \(OM > 2R\), vẽ hai tiếp tuyến \(MA,MB\;\;(A,B\)là hai tiếp điểm). Gọi \(H\)là giao điểm của \(AB,OM\)

 

a)      Nếu cho \(OM = R\sqrt 5 \). Tính độ dài đoạn \(MA\) theo \(R\) và số đo \(\angle AOM\) (làm tròn tới độ)

Xét tam giác OAM vuông tại A có:

+)  \(A{M^2} + O{A^2} = O{M^2} \)

\(\Rightarrow AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 R} \right)}^2} - {R^2}}  = 2R\) (định lí Py-ta-go)

+)  \(\cos \left( {\angle AOM} \right) = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{R\sqrt 5 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \)

\(\Rightarrow \angle AOM = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) \approx {63^o}\)\(\)

b)     Chứng minh bốn điểm \(M,A,O,B\) thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) có: MA,MB là hai tiếp tuyến với A,B là tiếp điểm

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA \bot AM\\OB \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle OAM = {90^o}\\\angle OBM = {90^o}\end{array} \right.\)

Xét tứ giác MAOB có: \(\angle OAM + \angle OBM = {90^o} + {90^o} = {180^o}\), suy ra tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn, suy ra bốn điểm M,O,A,B cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

c)Gọi \(AC\) là đường kính của đường tròn\(\left( O \right)\), tia \(CH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(N\). Chứng minh:\(4OH.OM = A{C^2}\).

Có \(OA = OB\) (cùng là bán kính), suy ra O thuộc trung trực của AB.

Xét đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) có: MA,MB là hai tiếp tuyến với A,B là tiếp điểm, suy ra \(MA = MB\), suy ra M thuộc trung trực của AB.

Từ hai điều trên ta được OM là trung trực của AB, suy ra OM vuông góc với AB tại H.

+) Xét tam giác vuông OAM vuông tại A có AH là đường cao

\( \Rightarrow O{A^2} = OH.OM\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

+) Mà có: \(OA = \dfrac{1}{2}AC\) (do OA là bán kính, AC là đường kính)

\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}AC} \right)^2} = OH.OM \Rightarrow A{C^2} = 4.OH.OM\) (đpcm).

d) Chứng minh rằng đường thẳng \(AN\) đi qua trung điểm của \(MH\).

Gọi D là giao điểm của AN và OM

Xét tam giác ADM và tam giác CHA có:

+) \(\angle ACN = \angle MAD\) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AN )

+) \(\angle AMD = \angle CAH\) (do cùng phụ với \(\angle HAM\))

\( \Rightarrow \Delta ADM \sim \Delta CHA\;\;\left( {g - g} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{{DM}}{{HA}} = \dfrac{{AD}}{{HC}} \Rightarrow DM = AD.\dfrac{{HA}}{{HC}}\)                                (1)

Có AB vuông góc với OM (cmt) \( \Rightarrow \angle AHD = {90^o}\)

Có \(\angle ANC\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \angle ANC = {90^o}\)

Xét hai tam giác vuông HDN và ADH  có chung \(\angle NDH\)

\( \Rightarrow \Delta HDN \sim \Delta ADH\;\left( {g - g} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{{HN}}{{AH}} \Rightarrow HD = AD.\dfrac{{HN}}{{AH}}\).                                (2)

Xét tam giác AHC và tam giác NHB có:

+) \(\angle AHC = \angle NHB\) (hai góc đối đỉnh)

+) \(\angle CAH = \angle HNB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC )

\( \Rightarrow \Delta AHC \sim \Delta NHB\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}\)

Mà có: \(HA = HB\) (do OM là trung trực của AB) \( \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\)                        (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra \(HD = DM\), suy ra D là trung điểm của HM, suy ra AN đi qua trung điểm của HM(đpcm).

Xem lời giải

Đề số 3 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bài 1: Tính:

a)\(4\sqrt {12}  - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}}  - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)                                  

b)\(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}} \).

Bài 2:

a)Giải phương trình sau: \(\sqrt {36{x^2} - 12x + 1}  = 2\).

b) Rút gọn: \(A = \dfrac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\) ( với \(x > 0,x \ne 1\)).

Bài 3: 

a)Một khu vườn hình chữ nhật có kích thước là 25m và 40m. Người ta tăng mỗi kích thước của khu vườn thêm \(x\) (m). Gọi \(S,P\) theo thứ tự là diện tích và chu vi của khu vườn mới tính theo \(x\). Hỏi các đại lương \(S,P\) có phải là hàm số bậc nhất của \(x\) không? Vì sao? Tính giá trị của \(x\) khi biết giá trị tương ứng của \(P\) là 144 (tính theo đơn vị m).

b) Cho hàm số \(y =  - 2x + 3\) có đồ thị \(\left( {{d_1}} \right)\)và hàm số \(y = x\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\). Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép tính.

Bài 4: 

a) Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng \(AC = 30m\), rồi vạch  \(CD\) vuông góc với phương BC cắt AB tại D. Do\(AD = 20m\), từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc \(\angle ACB\).

b) Có 150g dung dịch chứa 40g muối. Ta phải pha thêm bao nhiêu nước nữa để dung dịch có tỉ lên 20% muối

Bài 5: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) ( B, C là tiếp điểm), gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh rằng: \(OA \bot BC\).

b) Gọi D, E là giao điểm của OA với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) ( D nằm giữa O và A). Chứng minh rằng \(OH.HA = HD.HE\).

c)Chứng minh rằng \(2HD.AB = DA.BC\).

Vậy giá trị của \(x\) là: \(x = \dfrac{7}{2}\).

b)Cho hàm số \(y =  - 2x + 3\)có đồ thị \(\left( {{d_1}} \right)\)và hàm số \(y = x\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\). Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép tính.

Ta có bảng giá trị: 

x

0

1

\({d_1}:\;\;y =  - 2x + 3\)

3

1

\({d_2}:\;\;y = x\)

0

1

Vậy đồ thị hàm số \({d_1}:\;\;y =  - 2x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\;3} \right),\;\;\left( {1;\;1} \right)\)  và đồ thị hàm số \({d_2}:\;\;y = x\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\;0} \right),\;\;\left( {1;\;1} \right).\)

Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số trên:

 

Hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - 2x + 3 = x \Leftrightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x = 1\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = x = 1\). Vậy giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) là điểm \(M\left( {1;1} \right)\).

Bài 4:

a)Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng \(AC = 30m\), rồi vạch \(CD\) vuông góc với phương BC cắt AB tại D. Do\(AD = 20m\), từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc \(\angle ACB\).

Ta có hình vẽ minh họa :

Xét tam giác vuông BCD vuông tại C cóAC là đường cao ta có:

\( \Rightarrow AB.AD = A{C^2} \Leftrightarrow AB = \dfrac{{A{C^2}}}{{AD}} = 45\left( m \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét tam giác BAC vuông tại A có:

\(\tan \left( {\angle ACB} \right) = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{45}}{{30}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \angle ACB = \arctan \dfrac{3}{2} \approx {56^o}\).

b)Có 150g dung dịch chứa 40g muối. Ta phải pha thêm bao nhiêu nước nữa để dung dịch có tỉ lệ 20% muối.

Gọi lượng nước cần cho thêm vào dung dịch là \(x\;\;\left( g \right),\;\;\left( {x > 0} \right).\)

Suy ra khối lượng dung dịch sau khi thêm nước là: \(150 + x\;\;\left( g \right).\)

\(\dfrac{{40}}{{150 + x}} = \dfrac{{20}}{{100}} \Leftrightarrow 200 = 150 + x \Leftrightarrow x = 50\left( g \right)\;\;\left( {tm} \right)\)

 Vậy cần thêm vào dung dịch 50 (g) nước.

Bài 5:Cho điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) ( B, C là tiếp điểm), gọi H là giao điểm của OA và BC.

 

a)Chứng minh rằng: \(OA \bot BC\).

Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có \(OB = OC\) (do cùng là bán kính)

Suy ra O cách đều hai điểm BC, suy ra O nằm trên đoạn trung trực của BC.          (1)

Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có: ABAC là tiếp tuyến (AB là tiếp điểm)

Suy ra \(AB = AC\) ( tính chất tiếp tuyến )

Suy ra A cách đều hai điểm BC, suy ra A nằm trên trung trực của BC.                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là trung trực của BC, suy ra \(OA \bot BC\).

b)Gọi D, E là giao điểm của OA với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (D nằm giữa O và A)

Chứng minh rằng \(OH.HA = HD.HE\).

Xét \(\left( {O;R} \right)\) có AB là tiếp tuyến (B là tiếp điểm)

\( \Rightarrow AB \bot OB\) (tính chất tiếp tuyến)

Xét tam giác vuông \(OBA\) vuông tại B có BH là đường cao

\( \Rightarrow OH.HA = B{H^2}\)( hệ thức lượng trong tam giác vuông)                                     (3)

Xét \(\left( {O;R} \right)\)có \(\angle EBD\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \angle EBD = {90^o}\)

Xét tam giác EBD vuông tại B có BH là đường cao

\( \Rightarrow EH.HD = B{H^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                                      (4)

Từ (3), (4) \( \Rightarrow OH.HA = HD.HE\) (đpcm). 

c)Chứng minh rằng \(2HD.AB = DA.BC\).

Có D nằm trên đường trung trực của BC (D nằm trên OA)

Suy ra \(BD = BC\) (tính chất đường trung trực), suy ra cung BD bằng cung DC (hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau)

Xet đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có:

+) \(\angle CBD\) là góc nội tiếp chắn cung DC

+) \(\angle DBA\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung BD

+) Cung BD và cung DC bằng nhau (cmt)

\( \Rightarrow \angle CBD = \angle DBA \Rightarrow BD\)là phân giác \(\angle HBA\)

Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác HBA có: \(\dfrac{{HD}}{{DA}} = \dfrac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow HD.AB = DA.BH\)

Mà có: \(BH = \dfrac{1}{2}BC\) (do H là trung điểm của BC)

\( \Rightarrow HD.AB = DA.\dfrac{{BC}}{2} \Leftrightarrow 2HD.AB = DA.BC\) (đpcm)

Xem lời giải

Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bài 1  Thực hiện phép tính:

a) \(A = 3\sqrt {32}  - 6\sqrt 2  - \sqrt {50} \)

b) \(B = \sqrt {{{\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)

Bài 2

            Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 1\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 1\)

a) Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm \(B\) của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép toán.

Bài 3:  Rút gọn biểu thức sau

a) \(C = \dfrac{{\sqrt {14}  + \sqrt 7 }}{{\sqrt 2  + 1}} - \sqrt 7 \)    

b) \(D = \left( {4 - \sqrt {15} } \right){\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2}\)

Bài 4:  

            Nhân ngày “Black Friday” (24/11/2017). Một cửa hàng điện tử thực hiện giảm giá 50% trên một tivi trong lô hàng gồm 40 cái tivi với giả bán lẻ ban đầu là 6.500.000 đ/cái. Đến trưa cùng ngày đã bán được 20 cái, khi đó cửa hàng quyết định giảm thêm 10% nữa  trên giá đang bán cho mỗi tivi thì bán được hết lô hàng. Biết rằng giá vốn là 3.050.000 đ/một tivi. Hỏi cửa hàng đó lời hay lỗ khi bán hết lô hàng tivi?

Bài 5: 

            Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m , người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nắng lần lượt là \({34^o}\) và \({38^o}\).

Bài 6: 

Hiện nay tại nước Mỹ quy định cầu thang cho người khuyết tật dùng xe lăn có hệ số góc không quá \(\dfrac{1}{{12}}\). Để phù hợp với tiêu chuẩn ấy thì chiều cao cầu thang tối đa là bao nhiêu khi biết đáy của cầu thang có độ dài là 4m ?

Bài 7: 

Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính \(AB\). Vẽ các tiếp tuyến \(Ax,By\). Từ một điểm M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) cắt \(Ax,By\) lần lượt tại D, C.

a) Chứng minh: \(CD = AD + BC\) và \(\angle COD = {90^o}\).

b) Gọi N là giao điểm của ACBD. Chứng minh MN vuông góc với AB.

Xem lời giải

Đề số 5 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1

Thực hiện phép tính:

a) \(3\sqrt {80}  - 2\sqrt {45}  - \sqrt {125} \).

b) \(\dfrac{3}{{\sqrt 7  - 1}} - \dfrac{{\sqrt 7  - \sqrt {21} }}{{2 - 2\sqrt 3 }}\).

c) \(\sqrt {{{\left( {2\sqrt 5  - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {24 - 8\sqrt 5 } \).

Câu 2: (1 điểm)

Giải phương trình:

a)\(\sqrt {4 - 3x}  = 4\).                      

b)\(\sqrt {4{x^2} + 4x + 1}  = 5\).

Câu 3:

Cho hàm số \(y =  - \dfrac{1}{2}x\) có đồ thị \(\left( {{d_1}} \right)\) và hàm số \(y = x - 3\) có đồ thị \(\left( {{d_2}} \right)\).

a)Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ

b)Tìm tọa độ giao điểm A của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép toán.

Câu 4: 

Một máy bay cất cánh theo phương có góc nâng là \({23^o}\)so với mặt đất. Hỏi muốn đạt độ cao 250m so với mặt đất thì máy bay phải bay lên một đoạn đường là bao nhiêu mét? (làm tròn đến mét)

Câu 5: 

 Một hỗn hợp dung dịch gồm nước và muối trong đó 6% muối (về khối lượng). Hỏi phải thêm bao nhiêu kg nước vào 50kg dung dịch trên để có được một dung dịch mới có 3% muối.

Câu 6: (1 điểm)

Một cửa hàng có hai loại quạt, giá tiền như nhau. Quạt màu xanh được giảm giá hai lần, mỗi lần giảm giá 10% so với giá đang bán. Quạt màu đỏ được giảm giá một lần 20%. Hỏi sau khi giảm giá như trên thì loại quạt nào rẻ hơn.

Câu 7: 

Cho \(\left( O \right)\)đường kính \(AB\). Lấy C thuộc \(\left( O \right)\), gọi E là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại C của \(\left( O \right)\)cắt OED

a)Chứng minh: \(\Delta ACB\)vuông và \(OE \bot BC\).

b)Chứng minh: DB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c)Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh: \(CB.OC = OD.HC\).

Xem lời giải

Đề số 6 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bài 1:  Thực hiện phép tính (thu gọn):

1) \(2\sqrt {48}  + \dfrac{1}{3}\sqrt {108}  - 5\sqrt 3  - 3\sqrt {27} \).

2) \(\dfrac{{6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6  - 1}} - 9\sqrt {\dfrac{2}{3}}  - \dfrac{4}{{2 - \sqrt 6 }}\).

Bài 2: Giải phương trình: \(\dfrac{5}{3}\sqrt {9x - 18}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {16x - 32}  - 15 = 0\).

Bài 3:  Cho hàm số \(y = 3x\) có đồ thị \(\left( D \right)\) và hàm số \(y = x + 2\) có đồ thị \(\left( {{D_1}} \right)\).

1) Vẽ \(\left( D \right)\)và \(\left( {{D_1}} \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

2) Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = \left( {m - 5} \right)x + m + 2\) có đồ thị \(\left( {{D_2}} \right)\) cắt \(\left( {{D_1}} \right)\)tại điểm B có hoành độ bằng 2.

Bài 4:  Cho  tam giác ABC vuông tại A, đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính ACcắtBC tại K, vẽ dây cung ADcủa \(\left( O \right)\) vuông góc với BOtạiH.

1) Chứng minh bốn điểm B, K, H, A cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh: BD là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

3) Chứng minh \(BH.BO = BK.BC\).

4) Từ \(\left( O \right)\)vẽ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E, từ B vẽ đường thẳng vuông góc với EC tại F, BF cắt AO tại M. Chứng minh: \(MA = MO\)

Bài 5 Nhà bạn Bình có gác lửng cao so với nền nhà là 3m. Ba bạn Bình cần đặt một thang đi lên gác, biết khi đặt thang phải để thang tạo được với mặt đất một góc \({70^o}\)thì đảm bảo sự an toàn khi sử dụng. Với kiến thức đã học, Bình hãy giúp Ba tính chiều dài thang là bao nhiêu mét để sử dụng. (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 6: 

Tháng 11 vừa qua có ngày Black Friday, phần lớn các trung tâm thương mại đều giảm giá rất nhiều mặt hàng. Mẹ bạn An có dẫn An đến một trung tâm thương mại để mua một đôi giày. Biết đôi giày đang khuyến mại giảm giá 40%, mẹ bạn An có thẻ khách hàng thân thiết của trung tâm thương mại nên được giảm thêm 5% trên giá đã giảm nữa, do đó mẹ bạn An phải trả 684.000 đ cho đôi giày. Hỏi giá ban đầu của đôi giày nếu không khuyến mại là bao nhiêu?

Xem lời giải

Đề số 7 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bài 1: 

a) Tính chu vi tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh là \(AB = 5\sqrt 2 \left( {cm} \right),AC = \sqrt {32} \left( {cm} \right)\),\(BC = \sqrt {98} \left( {cm} \right)\). (Không yêu cầu vẽ hình)

b) Thu gọn: \(B = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7  - 1} \right)}^2}}  - \dfrac{6}{{\sqrt 7  - 1}}\).

Bài 2:  Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y =  - 3x + 1\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = x - 3\).

a)Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

b)Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép tính.

c)Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( D \right):y = \left( {2m + 3} \right)x - 5\) song song vơi đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\).

Bài 3:Trong một tòa nhà ngoài thang máy người ta còn xây thêm một cầu thang đi bộ. Từ tầng 1 đến tầng 2 có 30 bậc thang. Các tầng còn lại cứ hai tầng liên tiếp cách nhau 21 bậc thang. Do thang máy bị hư nên bạn Vy đi bộ bắt đầu từ tầng 1 về căn hộ của mình. Tổng số bậc thang Vy đã đi là 135. Hỏi căn hộ của Vy ở tầng thứ bao nhiêu của tòa nhà?

Bài 4:  Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc\({21^o}\). Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu mét ? (kết quả làm tròn đến mét)

Bài 5:  Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

a)Chứng minh: \(Ax//By\).

b)Trên \(\left( {O;R} \right)\)lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)lần lượt cắt \(Ax\) và \(By\) tại DE. Chứng minh: \(DE = DA + BE\).

c)Chứng minh: \(\angle DOE = {90^o}\) và \(DA.BE = {R^2}\).

\(30 + 21\left( {n - 2} \right) = 135 \Leftrightarrow n - 2 = 5 \Leftrightarrow n = 7\;\;\left( {tm} \right)\).

Vậy nhà bạn Vy ở tầng 7 của tòa nhà.\(\)

Bài 4:Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc \({21^o}\). Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu mét ? (kết quả làm tròn đến mét)

 

Trong hình vẽ ta có:

+)  Đoạn AC là quãng đường tàu di chuyển trong quá trình lặn,

+) Đoạn BC là độ sâu mà tàu lặn được.

+) Đoạn AB là khoảng cách theo phương ngang tính từ vị trí xuất phát tới vị trí của tàu sau khi lặn.

+) \(\alpha \) là góc tạo bởi quãng đường tàu chuyển động và mặt biển.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B có:

+) \(\sin \alpha  = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) \( \Rightarrow BC = AC.\sin \alpha  = 300.\sin {21^o} \approx 107\left( m \right)\)

+) \(\cos \alpha  = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) \( \Rightarrow AB = AC.\cos \alpha  = 300.cos{21^o} = 280\left( m \right)\)

Vậy tàu lặn xuống độ sâu 107 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 280 (m).

Bài 5:Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

 

a)Chứng minh: \(Ax//By\).

Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có \(Ax\) là tiếp tuyến với A là tiếp điểm.

\( \Rightarrow Ax \bot OA\)(tính chất tiếp tuyến)\( \Rightarrow Ax \bot AB\)(do OA nằm trên AB)\(\)

Chứng minh tương tự có \(By \bot AB\)

Suy ra \(Ax//By\) (do cùng vuông góc với AB)(đpcm).\(\)

b)Trên \(\left( {O;R} \right)\)lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)lần lượt cắt \(Ax\) và \(By\) tại D và E. Chứng minh: \(DE = DA + BE\).

Xét \(\left( {O;R} \right)\)có DMAD là tiếp tuyến với AMlà tiếp điểm

\( \Rightarrow AD = DM\)(tính chất tiếp tuyến)                                          (1)

Tương tự ta có: \(ME = BE\)                                                 (2)

Vì M nằm trên đoạn DE nên ta có: \(DE = DM + ME\)                    (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra\(DE = DA + BE\)(đpcm).

c)Chứng minh: \(\angle DOE = {90^o}\) và \(DA.BE = {R^2}\).

+)Chứng minh \(\angle DOE = {90^o}\)

Có: \(DM = DA\)(cmt), suy ra D cách đều A và M, suy ra D nằm trên đường trung trực của AM

Mà có: \(OA = OM\) (cùng là bán kính) suy ra O cách đều A và M, suy ra O nằm trên trung trực của AM

Suy ra OD là trung trực của AM, suy ra \(OD \bot AM.\)

Chứng minh tương tự có \(OE \bot MB.\)

Xét tứ giác MCOF có:

+) \(\angle MCO = {90^o}\) (do \(OD \bot AM\))

+)  \(\angle MFO = {90^o}\)(do \(OE \bot MB\))

+)  \(\angle CMF = {90^o}\)(do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra MCOF là hình chữ nhật (dhnb), suy ra \(\angle DOE = {90^o}\). (đpcm)

+) Chứng minh \(DA.BE = {R^2}\).

Xét tam giác DOE vuông tại O có: OM là đường cao (do DE là tiếp tuyến nên OM vuông góc với DE )

\( \Rightarrow ME.MD = O{M^2}\)

Mà có: \(\left\{ \begin{array}{l}DA = MD\\BE = ME\end{array} \right.\) (cmt)

Suy ra \(DA.BE = {R^2}\) (đpcm).

Xem lời giải

Đề số 8 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bài 1:  Thực hiện phép tính:

1) \(A = \sqrt {12}  - 2\sqrt {48}  + \dfrac{7}{5}\sqrt {75} \) 

2) \(B = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 }  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)

Bài 2:

1)Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}}\left( {x \ge 0} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 36\).

2)Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \dfrac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right):\dfrac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 2}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 16\)).

3)Với các biểu thức \(A,B\)nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của biểu thức \(P = B\left( {A - 1} \right)\)là số nguyên.

Bài 3:  Cho hàm số \(y = 2x + 4\) có đồ thị là \(\left( {{d_1}} \right)\)và hàm số \(y =  - x + 1\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\)

1)Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ .

2)Gọi A là giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\). Tìm tọa độ của điểm A.

3)Xác định các hệ số \(a,b\) của đường thẳng \({d_3}:y = ax + b\). Biết rằng \(\left( {{d_3}} \right)\)song song với \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\)cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại một điểm có hoành độ bằng 2.

Bài 4: 

1)Cho tam giác ABC vuông tại A AH là đường cao. Biết \(BH = 9\)cm, \(HC = 16\)cm. Tính độ dài AH, AC, số đo \(\angle ABC\) (số đo làm tròn đến độ).

2)Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn ( M khác A B), từ M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại CD.

a)Chứng minh rằng: \(CD = AC + BD\)

b)AM cắt OCtại E, BM cắt OD tại F. Chứng minh \(EF = OM\).

c)Chứng minh rằng tích \(AC.BD\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

d)Kẻ MH vuông góc với AB tại H, MHcắtBCtại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của MH.

Bài 5: 

Cho \(a,b,c\)là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh rằng:  \(\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{c} + \dfrac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\)

Mà có: \(ab + bc + ca \le \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\) (cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) + \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge 6 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} + 3\left( {a + b + c} \right) - 18 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c - 3} \right)\left( {a + b + c + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\end{array}\)

Do \(a,b,c > 0 \Rightarrow a + b + c + 6 > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho bộ ba số \(\left( {1;1;1} \right)\) và \(\left( {a;b;c} \right)\) có:

\(\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a.1 + b.1 + c.1} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge \dfrac{{{3^2}}}{3} = 3\).

Vậy ta chứng minh được \(\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{c} + \dfrac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\).

Xem lời giải

Đề số 9 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Phần I: Trắc nghiệm 

Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng cho các câu hỏi sau:

Câu 1 : Điều kiện để biểu thức\(A = \dfrac{{2017}}{{\sqrt x  - 1}}\) xác định là:

A.\(x > 0\)                  

B.\(x > 1\)

C.\(x > 0,x \ne 1\)        

D.\(x \ge 0,x \ne 1\)

Câu 2 (TH): Cho\(\sqrt {x - 1}  = 2\), giá trị của \(x\) là:

A.\( - 3\)                                  B.3

C.\( - 1\)                                  D.5

Câu 3 : Cho biểu thức \(P = \sqrt {\dfrac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\dfrac{{2a}}{5}} \) với \(a \ge 0\), kết quả thu gọn của \(P\) là:

A.\(\dfrac{{\sqrt a }}{{16}}\).                         B.\(\dfrac{a}{4}\).

C.\(\dfrac{a}{{16}}\).                         D.\(\dfrac{{\sqrt a }}{4}\).

Câu 4 : Trong các hàm số dưới đây, hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\)là:

A.\(y = {x^2} + 3\)    B.\(y = x - 3\)

C.\(y = 4x\).                D.\(y = 4 - x\).

Câu 5 : Cho 2 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = 5x + m\). Hai đường thẳng đó trùng nhau khi:

A.\(m =  \pm 2\)               B.\(m = 2\)

C.\(m =  - 2\)               D.\(m \ne  \pm 2\)

Câu 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các hệ thức sau, hệ thức đúng là:

A.\(\sin C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) 

B.\(\cos C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\)  

C.\(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) 

D.\(\cot C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

Câu 7 : Cho hai điểm phân biệt A, B. Số đường thẳng đi qua hai điểm A, B là:

A.0                              B.1

C.2                              D.Vô số

Câu 8 : Cho hình vẽ, MAMB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O,3cm} \right)\), \(MA = 4cm\). Độ dài đoạn thẳng AB là:

A.4,8cm          B.2,4cm

C.1,2cm          D.9,6cm

 

 

Phần II. Tự luận 

Câu 1

            Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\).

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi\(x = 81\).

b) Cho\(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\)

c) So sánh \(P\) và\({P^2}\).

Câu 2

Cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\) (\(m\)là tham số)

a)Vẽ đồ thị hàm số trên khi\(m =  - 1\). 

b)Tìm \(m\)để hai đường thẳng \(\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Câu 3

            Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)(C khác AB) sao cho\(AC > BC\). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn \(\left( O \right)\) cắt OHtại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại E.

a) Chứng minh \(HA = HC,\angle DCO = {90^o}\)

b) Chứng minh rằng \(DH.DO = DE.DB\)

c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FK cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh\(MK = MF\).

Câu 4

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\)

Xem lời giải

Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1 : Hãy tính giá trị của:

a) \(M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  - 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3 \) ;

b) \(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \) ;

c) \(P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}\) ;

Câu 2 : Cho các biểu thức:

\(A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\)  và  \(B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}\)  với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)

a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\).

b) Rút gọn B.

c) Xét biểu thức \(T = \dfrac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Câu 3 : Cho hàm số \(y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\) (với m là tham số và \(m \ne 2\)) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\)

a) Khi \(m = 0\), hãy vẽ \(\left( d \right)\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy\).

b) Tìm m để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 5\) tại điểm có hoành độ bằng 2.

c) Tìm m để \(\left( d \right)\) cùng với các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Câu 4 : Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài \(\left( O \right)\). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với \(\left( O \right)\) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OABC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\).

d) Tính số đo góc HEC.

Câu 5 : Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\) .

c) Tìm m để \(\left( d \right)\) cùng với các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Gọi A và B là giao điểm của \(\left( d \right)\) lần lượt với hai trục tọa độ Ox, Oy.

Tọa độ điểm A thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} \)

\(\Rightarrow A\left( {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|\)

Tọa độ điểm B thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = m + 1\)

\(\Rightarrow B\left( {0;m + 1} \right) \Rightarrow OB = \left| {m + 1} \right|\)

\({S_{\Delta OAB}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{OA.OB}}{2} = 2\)

\(\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|.\left| {m + 1} \right| = 4\)

\(\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| {m - 2} \right|\)

Trường hợp 1: \(m > 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 9 = 0\) vô nghiệm.

Trường hợp 2: \(m < 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} =  - 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\m =  - 7\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Câu 4: Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài \(\left( O \right)\). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với \(\left( O \right)\) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

\( \Rightarrow \) A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. (đpcm)

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại A

\( \Rightarrow \)\(AB = AC\) và AO là phân giác \(\angle BAC\)  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác cân tại A

\( \Rightarrow \)AO vừa là phân giác \(\angle BAC\)  vừa là đường trung trực của BC (tính chất tam giác cân)

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\).

Ta có D đối xứng với B qua O\( \Rightarrow \)BD là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\angle BED = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta ABD\) có: \(\angle BED = \angle ABD = {90^o}\), \(\angle D\) chung

d) Tính số đo góc HEC.

\(\angle BCD = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle AHB = {90^o}\) (AO là trung trực của BC)

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta AHB\) có: \(\angle BCD = \angle AHB = {90^o},\;\angle BDC = \angle ABH\)(BA là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại B)

   kết hợp c) \( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{CD}}{{BH}}\)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta DCE\) có     (2 góc t.ư)

\( \Rightarrow \angle BEH + \angle HED = \angle DEC + \angle HED \Rightarrow \angle BED = \angle HEC\)

Mà \(\angle BED = {90^o}\) (chứng minh trên)

Vậy \(\angle HEC = {90^o}\)

Câu 5:

Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\) .

\(Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{2y + 3x}}{{xy}} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{3x + 2y}}{6} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\)

Đặt \(t = 3x + 2y \Rightarrow t \ge 2\sqrt {3x.2y}  \Leftrightarrow t \ge 2\sqrt {6.6}  = 12\)

Theo bất đẳng thức AM-GM và vì \(t \ge 12\) nên ta có:

\(Q = \dfrac{t}{6} + \dfrac{6}{t} = \left( {\dfrac{t}{6} + \dfrac{{24}}{t}} \right) - \dfrac{{18}}{t} \ge 2\sqrt {\dfrac{t}{6}.\dfrac{{24}}{t}}  - \dfrac{{18}}{{12}} = \dfrac{5}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\\dfrac{{2{y^2}}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\{y^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\;\;\left( {do\;\;y > 0} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là \(\dfrac{5}{2}\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\).

Xem lời giải

Đề số 11 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1 :Cho hai biểu thức\(A = \frac{{x - 2\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 3}}\)và \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}\)với \(x > 0,\,\,x \ne 9\)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 3\)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

3) So sánh \(\frac{A}{B}\) và 4.

Câu 2:Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) (với \(m \ne  - 1\)có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\)

1) Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) với giá trị m tìm được ở câu 1

3) Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 3x + 2\) tại một điểm nằm trên trục hoành

Câu 3 :

Giải hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\)

Câu 4 :Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng OH. Từ một điểm S bất kì trên đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (A, B là tiếp điểm). Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB và với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

1) Chứng minh bốn điếm S, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn

2) Chứng minh \(OM.OS = {R^2}\)

3) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB

4) Khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào? Tại sao?

Câu 5 :Cho ba số thực dương \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\)

Chứng minh rằng \(P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1\)

Câu 3:

Giải hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left[ {1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y} \right] - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\\sqrt 2  + 1 - \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {\sqrt 2  - 1} \right)y - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\ - y - y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\ - 2y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\y = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)\)

Câu 4:

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng OH. Từ một điểm S bất kì trên đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (A, B là tiếp điểm). Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB và với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

1) Chứng minh bốn điếm S, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn

Ta có SA,SBlà hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OAS = \angle OBS = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)A, Bcùng thuộc đường tròn đường kính OS

\( \Rightarrow \) A, B, O, Scùng thuộc một đường tròn đường kính OS.

2)Chứng minh \(OM.OS = {R^2}\)

Ta có SA, SBlà hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại S

\( \Rightarrow \)\(SA = SB\) và SO là phân giác \(\angle ASB\)  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta SAB\) là tam giác cân tại S.

\( \Rightarrow \)SO vừa là phân giác \(\angle ASB\) vừa là đường trung trực của AB (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow SO \bot AB\) tại M.

\( \Rightarrow \)AMlà đường cao trong tam giác OAS

Xét tam giác OAS vuông tại A, đường cao AMta có:

\(OM.OS = O{A^2} = {R^2}\)(hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

3) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB

Có \(\angle OBS = {90^o}\) ( SB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))\( \Rightarrow \angle OBN + \angle NBS = {90^o}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Có  \(SO \bot AB\) (chứng minh trên)\( \Rightarrow \)Tam giác MNB vuông tại M\( \Rightarrow \angle MNB + \angle NBM = {90^o}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Có \(ON = OB = R \Rightarrow \) Tam giác ONB cân tại O\( \Rightarrow \angle MNB = \angle OBN\)(tính chất tam giác cân) \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \angle NBS = \angle NBM\)\( \Rightarrow \)BN là phân giác \(\angle SBA\)

Mặt khác SN là phân giác \(\angle ASB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(SN \cap BN = \left\{ N \right\}\)

\( \Rightarrow \)N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB.

4) Khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào? Tại sao?

Gọi \(HO \cap AB = \left\{ K \right\}\).

Xét \(\Delta OMK\) và \(\Delta OHS\) có: \(\angle O\)chung; \(\angle OMK = \angle OHS\,\,\,( = {90^o})\)

\( \Rightarrow \Delta OMK \sim \Delta OHS\)(g.g) \( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OS}} = \frac{{OM}}{{OH}} \Rightarrow OK.OH = OM.OS = {R^2}\)

Vì H cố định \( \Rightarrow \)OH cố định mà R cố định\( \Rightarrow \)OK cố định.

Mặt khác \(\angle OMK = {90^o}\)\( \Rightarrow \)M thuộc đường tròn đường kính OK cố định.

Vậy khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường tròn đường kính OK cố định.

Câu 5:

Cho ba số thực dương \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\)

Chứng minh rằng \(P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1\)

Với \(x,y,z > 0\) ta có :  \(\frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le 2y - x \Leftrightarrow 5{y^3} - {x^3} \le  - {x^2}y + 6{y^3} - x{y^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} - xy\left( {x + y} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)luôn đúng với mọi \(x,\;y > 0.\)

\( \Rightarrow \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le 2y - x\)đúng với \(x,y,z > 0\)

Tương tự ta được \(\frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} \le 2z - y\,;\,\,\frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 2x - z\)

\( \Rightarrow P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 2y - x + 2z - y + 2x - z = x + y + z = 1\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\x + y + z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}\)

Xem lời giải

Đề số 12 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 

Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng và ghi vào tờ giấy thi của em.

Câu 1 :Căn bậc hai số học của \(16\) là

A.\(4\)                          B.\( - 4\)

C.\( \pm 4\)                       D.\(256\)

Câu 2 : Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {\dfrac{{2017}}{{x - 2018}}} \)  là  

A.\(x \ge 2018\)             B.\(x \ne 2018\)

C.\(x > 2018\)             D.\(x < 2018\)

Câu 3 : Rút gọn biểu thức \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  + \sqrt 3 \) ta được kết quả là

A.\(2\)                          B.\(2\sqrt 3  - 2\)

C.\(2\sqrt 3  + 2\)              D.\(2 - \sqrt 3 \)

Câu 4 : Hàm số \(y = (m - 2017)x + 2018\) đồng biến khi

A.\(m \ne 2017\)                     B.\(m \ge 2017\)

C.\(m > 2017\)                        D.\(m < 2017\)

Câu 5 : Tìm giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = (m - 2017)x + 2018\) đi qua điểm \((1\,;\,\,1)\) ta được

A.\(m = 2017\)                        B.\(m = 0\)

C.\(m > 2017\)                        D.\(m < 2017\)

Câu 6 : Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 3,AB = 4\). Khi đó \(\cos B\) bằng

A.\(\dfrac{3}{4}\)                               B.\(\dfrac{3}{5}\)

C.\(\dfrac{4}{3}\)                               D.\(\dfrac{4}{5}\)

Câu 7 :Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(AB = 9cm,\,\,BC = 15cm\). Khi đó độ dài \(AH\) bằng:

A.\(6,5cm\)                  B.\(7,2cm\)

C.\(7,5cm\)                  D.\(7,7cm\)

Câu 8 :  Giá trị của biểu thức \(P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\) bằng

A.\(0\)                          B.\(1\)

C.\(2\)                          D.\(3\)

II. TỰ LUẬN 

Bài 1 

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 9}}{{x - 9}}\)  với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9\).

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 4 - 2\sqrt 3 \).

Bài 2 (2,0 điểm):

Cho hàm số \(y = (m - 1)x + m\).

a) Xác định giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(2\).

b) Xác định giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số cắt hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 3\).

c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của \(m\) tìm được ở các câu a) và b) trên cùng hệ trục tọa độ \(Oxy\) và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được.

Câu 3 

Cho đường tròn \((O,R)\,\)và đường thẳng \(d\) cố định không cắt đường tròn. Từ một điểm \(A\) bất kì trên đường thẳng \(d\) kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn (\(B\) là tiếp điểm). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AO\) tại \(H\), trên tia đối của tia \(HB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(HC = HB\).

a) Chứng minh \(C\) thuộc đường tròn \((O,R)\,\)và \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O,R)\,\).

b) Từ \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d\) tại \(I\), \(OI\) cắt \(BC\) tại \(K\). Chứng minh \(OH.OA = OI.OK = {R^2}\).

c) Chứng minh khi \(A\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) thì đường thẳng \(BC\) luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4 

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = x - 2\sqrt {2x - 1} \).

b) Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  + 3 = 3\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x - 2} \).

Xem lời giải

Đề số 13 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1

a) Nêu điều kiệnđể \(\sqrt A \) có nghĩa.

Áp dụng: Tìm điều kiện của \(x\) để \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa.

b) Tính: \(\dfrac{1}{2}\sqrt {48}  - 2\sqrt {75}  + \dfrac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }}.\)

c) Rút gọn biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{{x\sqrt x  - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{x\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]\)   (với \(x > 0\)và \(x \ne 1\))

Câu 2

Cho hàm số \(y = 2x - 2\).

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Vì sao?

b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x - 2\).

c) Với giá trị nào của \(m\) thì đường thẳng \(y = (m - 1)x + 3\,\,\,\,\,(m \ne 1)\) song song với đường thẳng \(y = 2x - 2\).

Câu 3 

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\2x - y = 7\end{array} \right.\)

Câu 4 

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), biết \(BH = 9cm,\,\,CH = 25cm\). Tính \(AH\).

Câu 5 

Cho đường tròn \((O)\), điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đường tròn (\(M,N\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng \(OA \bot MN\).

b) Vẽ đường kính \(NOC\). Chứng minh rằng MC// AO.

Xem lời giải

Đề số 14 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1 

a) Tính: \(3\sqrt {16}  + 5\sqrt {36} \)

b) Chứng minh rằng: với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) thì \(\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Câu 2 Cho hàm số \(y = (2m + 1)x - 6\) có đồ thị \((d)\).

a) Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số nghịch biến trên \(R\).

b) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \((d)\) đã cho đi qua điểm \(A(1;\,\,2)\).

c) Vẽ \((d)\) khi \(m =  - 2\).

Câu 3 

Một cột đèn cao \(7m\) có bóng trên mặt đất dài \(4m\). Gần đó có một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất dài \(80m\) (hình vẽ). Em hãy cho biết tòa nhà đó có bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao \(2m\).

Câu 4 

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) (\(H\) thuộc \(BC\)). Biết \(\angle ACB = {60^0},\,\,CH = a\). Tính độ dài \(AB\) và \(AC\) theo \(a\).

Câu 5 

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,(AB < AC)\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AC\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\,\,(D \ne C)\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(DC.\) Tia \(OH\) cắt cạnh \(AB\) tại \(E\) . Chứng minh:

a) \(AD\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

b) \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

c) Tứ giác \(OHDK\) là hình chữ nhật.

Xem lời giải

Đề số 15 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Bài 1 

Giải phương trình \({x^2} + 28x - 128 = 0\)

Bài 2

Cho phương trình \((m + 1){x^2} - (2m + 3)x + m + 4 = 0\,\,\,\,\,(1)\), với \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình khi \(m =  - 1\) .

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình (1) có nghiệm.

Bài 3 

Cho \((P)\) là đồ thị hàm số \(y =  - \dfrac{1}{2}{x^2},\,\,\,(d)\) là đồ thị hàm số \(y = 2x\) và \((d')\) là đồ thị hàm số \(y =  - x\).

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y =  - \dfrac{1}{2}{x^2},\,\,\,y = 2x,\,\,\,y =  - x\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Các đồ thị \((P),\,\,(d)\,\)và \(\,(d')\) có một điểm chung là gốc tọa độ\(O\). Gọi \(A\) là giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d)\), gọi \(B\) là giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d')\). Chứng minh rằng tam giác \(OAB\) vuông và tính diện tích tam giác \(OAB\) (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).

Bài 4 

Tìm hai số tự nhiên, biết rằng hiệu của số lớn và số nhỏ bằng \(1814\) và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là \(9\) và số dư là \(182\).

Bài 5 

Cho góc \(\widehat {xAy} = {60^0}\) và \((O)\) là đường tròn tiếp xúc với tia \(Ax\) tại \(B\) và tiếp xúc với tia \(Ay\) tại \(C\). Trên cung nhỏ  của đường tròn \((O)\) lấy điểm \(M\) và gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,\,\,CA,\,\,AB\).

a)  Chứng minh tứ giác \(CDME\) là tứ giác nội tiếp.

b) Tính số đo của góc \(\widehat {EDF}\).

c) Chứng minh rằng \(M{D^2} = ME.MF\).

Nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 1814\\y = 9x + 182\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 1814\\x + 1814 = 9x + 182\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x = 1632\\y = x + 1814\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 204\\y = 2018\end{array} \right.\)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là \(204\) và \(2018\).

Bài 5:

 

a) Ta có \(\widehat {CDM} = {90^0}\)(do \(MD \bot BC\))

                \(\widehat {CEM} = {90^0}\) (do \(ME \bot AC\))

\( \Rightarrow \widehat {CDM} + \widehat {CEM} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \)\(CDME\) là tứ giác nội tiếp.

b) Từ câu a ta có \(\widehat {MDE} = \widehat {MCE}\) (cùng chắn  của đường tròn \((CDME)\))

Mà \(\widehat {MCE} = \widehat {MBC}\) (cùng chắn  của đường tròn \((O)\))

\( \Rightarrow \widehat {MDE} = \widehat {MBC}\,\,\,\,(1)\)

Tương tự câu a ta cũng có tứ giác \(BDMF\) nội tiếp nên ta có:

\(\widehat {MDE} = \widehat {MBF}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)   (cùng chắn  của đường tròn \((BDME)\))

Từ (1) và (2)  ta suy ra:

\(\widehat {EDF} = \widehat {MDE} + \widehat {MDF} = \widehat {MBC} + \widehat {MBF} = \widehat {CBA} = {60^0}\) (vì tam giác \(ABC\) đều do có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = {60^0}\) )

c) Ta có \(\widehat {MED} = \widehat {MCD}\) (cùng chắn  của đường tròn \((CDME)\))

Mà \(\widehat {MCD} = \widehat {MBF}\) (cùng chắn  của đường tròn \((O)\))

Kết hợp (2) \( \Rightarrow \widehat {MED} = \widehat {MDF}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Từ (1): \(\widehat {MDE} = \widehat {MBC}\)

Mà \(\widehat {MBC} = \widehat {MFD}\) (cùng chắn  của đường tròn \((BDMF)\))

\( \Rightarrow \widehat {MDE} = \widehat {MFD}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\Delta MDE\) và \(\Delta MFD\) đồng dạng

\( \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{MF}} = \dfrac{{ME}}{{MD}}\,\, \Rightarrow M{D^2} = ME.MF\)

Xem lời giải

Đề số 16 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1 Thực hiện phép tính

a) \(2\sqrt {50}  - 3\sqrt {32}  - \sqrt {162}  + 5\sqrt {98} \)

b) \(\sqrt {8 + 2\sqrt 7 }  + \sqrt {11 - 4\sqrt 7 } \)

c) \(\dfrac{{10}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{8}{{3 + \sqrt 5 }} - \dfrac{{\sqrt {18}  - 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt 5 }}\)

Câu 2 :Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\), với \(x \ge 0\)và \(x \ne 9\)

a) Rút gọn P.  

b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 :Cho hàm số\(y = 0,5x\) có đồ thị là \(\left( {{d_1}} \right)\)và hàm số \(y =  - x + 3\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\).

a) Vẽ\(\left( {{d_1}} \right)\)và\(\left( {{d_2}} \right)\)trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Xác định các hệ số a, b của đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\)\(:\,\,y = ax + b\). Biết \(\left( {{d_3}} \right)\) song song với \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại một điểm có hoành độ bằng 4.

Câu 4 :1. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất 4m. Cùng thời điểm đó, một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 60m. Hãy cho biết tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3m. (Hình vẽ minh họa)

2.Cho \(\Delta ABC\,\,(AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)có BC là đường kính, vẽ đường cao AH của \(\Delta ABC\). \((H \in BC)\)

a) Biết \(AB = 6cm,\,\,AC = 8cm\). Tính độ dài AHHB.

b) Tiếp tuyến tại A của \(\left( O \right)\) cắt các tiếp tuyến tại BC lần lượt tại MN. Chứng minh \(MN = MB + NC\) và \(\angle MON = {90^o}\).

c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(AB = AE\), gọi I là trung điểm của BE. Chứng minh 3 điểm M, I, O thẳng hàng.

d) Chứng minh HI là tia phân giác của \(\angle AHC\).

Câu : Xe lăn cho người khuyết tật.

Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất ra những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu là 500 triệu đồng (dùng để mua nguyên vật liệu và thiết bị sản xuất). Chi phí để sản xuất ra một chiếc xe lăn là 2,5 triệu đồng. Giá bán ra thị trường mỗi chiếc là 3 triệu đồng.

a) Em hãy viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra được x chiếc xe lăn (gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất) và hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra x chiếc xe lăn.

b) Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe lăn với giá trên mới có thể thu hồi được đủ số tiền vốn đã đầu tư ban đầu? (Gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất)

Xem lời giải

Đề số 17 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

I. TRẮC NGHIỆM


Trả lời câu hỏi bằng cách viết lại chữ cái trước đáp án đúng vào bài làm:

Câu 1 : Nếu x thỏa mãn điều kiện \(\sqrt {3 + \sqrt x }  = 2\) thì x nhận giá trị là:

A. 0                             B. 4

C. 5                             D. 1

Câu 2 : Điều kiện để hàm số bậc nhất \(y = \left( {1 - m} \right)x + m\,\,\left( {m \ne 1} \right)\)là hàm số nghịch biến là:

A. \(m > 1\)                 B. \(m \ge 1\)

C. \(m \le 1\)                D. \(m < 1\)

Câu 3 : Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH. Chọn hệ thức sai:

A. \(M{H^2} = HN.HP\)       

B. \(M{P^2} = NH.HP\)

C. \(MH.NP = MN.MP\)

D. \(\dfrac{1}{{M{N^2}}} + \dfrac{1}{{M{P^2}}} = \dfrac{1}{{M{H^2}}}\)

Câu 4 : Cho hai đường tròn \(\left( {I;7cm} \right)\)và \(\left( {K;5cm} \right)\). Biết \(IK = 2cm\). Quan hệ giữa hai đường tròn là:

A. Tiếp xúc trong                   

B. Tiếp xúc ngoài

C. Cắt nhau                            

D. Đựng nhau

II. TỰ LUẬN 

Câu 1 :Thực hiện phép tính:             a) \(3\sqrt {\dfrac{1}{3}}  + 4\sqrt {12}  - 5\sqrt {27} \)                  b) \(\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3  - 1}}\)

Câu 2 : Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\)  và \(Q = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)\)

a) Rút gọn P

b) Tìm x sao cho \(P = 2\)

c) Biết \(M = P:Q\). Tìm giá trị của x để \({M^2} < \dfrac{1}{4}\)

Câu 3:Cho hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + 4\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\)\(\left( {m \ne 4} \right)\).

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua \(A\left( {1;6} \right)\)

b) Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được ở câu a. Tính góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trục Ox (làm tròn đến phút).

c) Tìm m để đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng\(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {m - {m^2}} \right)x + m + 2\)

Câu 4 :Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn \(\left( O \right)\) (với E là tiếp điểm). Vẽ dây EH vuông góc với AO tại M.

a) Cho biết bán kính \(R = 5cm,\,\,OM = 3cm\). Tính độ dài dây EH.

b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn\(\left( O \right)\).

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn \(\left( O \right)\) (F là tiếp điểm). Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng và \(BF.AE = {R^2}\).

d) Trên tia HB lấy điểm I (\(I \ne B\)), qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại CD. Vẽ đường thẳng IF cắtAE tại Q. Chứng minh \(AE = DQ\).

Câu 5 :Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \).

Câu 4: Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn \(\left( O \right)\) (với E là tiếp điểm). Vẽ dây EH vuông góc với AO tại M.

a) Cho biết bán kính \(R = 5cm,\,\,OM = 3cm\). Tính độ dài dây EH.

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông OME có:

\(EM = \sqrt {O{E^2} - O{M^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\)

Vậy \(EH = 2EM = 8\,\,(cm)\)

 b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot EH\\ME = MH\end{array} \right. \Rightarrow \)OA là đường trung trực của EH\( \Rightarrow AE = AH\)

Xét hai tam giác OEA và tam giác OHA có:

\(OE = OH\,\,( = R);\,\,\,AE = AH;\,\,OA\)chung

\( \Rightarrow \Delta OEA = \Delta OHA\)(c.c.c) \( \Rightarrow \angle OHA = \angle OEA = {90^o}\) hay \(AH \bot OH\)

Vậy AH là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (đpcm).

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn \(\left( O \right)\) (F là tiếp điểm). Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng và \(BF.AE = {R^2}\).

Có \(AH \bot OH\;\;\left( {cmt} \right)\) hay Blà giao của hai tiếp tuyến BH; BF

\( \Rightarrow \angle BOF = \angle BOH\), lại có \(\angle EOA = \angle HOA\)

\( \Rightarrow \angle EOA + \angle AOB + \angle BOF = 2\left( {\angle AOH + \angle BOH} \right) = 2\angle AOB = {180^o}\)

\( \Rightarrow \)E, O, F thẳng hàng. (đpcm)

Có \(\angle EOA + \angle BOF = {180^o} - \angle AOB = {90^o} \Rightarrow \angle OAE = \angle BOF\) (cùng phụ \(\angle AOE\))

Xét \(\Delta AOE\) và \(\Delta OBF\)có: \(\angle OAE = \angle BOF\);  \(\angle AEO = \angle BFO = {90^o}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{OF}} = \dfrac{{OE}}{{BF}} \Rightarrow AE.BF = OE.OF = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

d) Trên tia HB lấy điểm I (\(I \ne B\)), qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắt AE tại Q. Chứng minh \(AE = DQ\).

Có \(BF//AQ\)  (do cùng vuông góc với EF) \( \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{AQ}}{{DQ}}\)(định lý Talet)   (*)

Dễ dàng chứng minh \(\Delta COD\) vuông tại O. Gọi K là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 qua I với \(\left( O \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD đường cao DK ta có: \(O{K^2} = DK.CK\)

Mà DE, DK là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)cắt nhau tại D nên \(DE = DK\)

Tương tự \(CK = CF \Rightarrow O{K^2} = CF.DE \Leftrightarrow CF.DE = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(CF.DE = AE.BF \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{DE}}{{AE}}\)     (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\dfrac{{AQ}}{{DQ}} = \dfrac{{DE}}{{AE}} \Leftrightarrow \dfrac{{AQ}}{{AQ - DQ}} = \dfrac{{DE}}{{DE - AE}} \Leftrightarrow \dfrac{{AQ}}{{AD}} = \dfrac{{DE}}{{AD}} \Leftrightarrow AQ = DE\)

Câu 5:

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \).

Có x, y là các số thực dương \( \Rightarrow \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}\) là các số thực dương

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}  = \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}\)

Vậy \(P \ge \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}.\sqrt {1 + {x^2}{y^2}}  = 2\sqrt {\dfrac{1}{{xy}} + xy} \)

Ta có : \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \)(do x, y là hai số thực dương)\( \Rightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{1}{{xy}} + xy = \dfrac{1}{{16xy}} + xy + \dfrac{{15}}{{16}}.\dfrac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{16xy}}.xy}  + \dfrac{{15}}{{16}}\dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}}} = 2.\dfrac{1}{4} + \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{{17}}{4}\)

\( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {\dfrac{{17}}{4}}  = \sqrt {17} \). Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\\xy = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\sqrt {17} \) đạt được khi \(x = y = \dfrac{1}{2}.\)

Xem lời giải

Đề số 18 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1 :

Cho \(A = \left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10}}{{x - 9}} + \dfrac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x  - 3}}\)và \(B = \sqrt x  + 1\) (với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\))

a) Tính giá trị của biểu thức B khi \(x = 16\)

b) Rút gọn A

c) Tìm giá trị của x để \(A > B\)

Câu 2 :

Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = \left( {2k - 1} \right)x + k - 2\)(với k là tham số)

a) Tìm giá trị của k biết đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) có phương trình \(y =  - 3x + 5\)

b) Với giá trị của k tìm được ở câu a, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\)

Câu 3 :Giải phương trình

a) \(\sqrt {x + 3}  + \sqrt {16x + 48}  = 6 + \sqrt {9x + 27} \)

b) \(\sqrt {4x + 1}  = x - 1\)

Câu 4 :Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳng dkhông qua O cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm AB. Điểm C thuộc tia đối của tia AB. Vẽ CECF là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi CO cắt EF tại K. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

c) Đoạn thẳng CO cắt \(\left( O \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều.

Câu:

Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\)

b) Với giá trị của k tìm được ở câu a, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\)

Khi \(k =  - 1\) thì \(\left( d \right):y =  - 3x - 3\)

Ta có bảng giá trị:

x

0

-1

\(y =  - 3x - 3\)

-3

0

Vậy đồ thị hàm số \(y =  - 3x - 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0; - 3} \right),\;\;\left( { - 1;\;0} \right).\)

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của của \(\left( d \right)\) với Ox, Oy

Cho \(x = 0\) ta được \(y =  - 3\)\( \Rightarrow B\left( {0; - 3} \right)\)\( \Rightarrow OB = 3\)

Cho \(y = 0\) ta được \(x =  - 1\)\( \Rightarrow A\left( { - 1;0} \right)\)\( \Rightarrow OA = 1\)

Gọi H là hình chiếu của O trên \(\left( d \right)\), ta có:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{{3^2}}} = \dfrac{{10}}{9} \)

\(\Leftrightarrow OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)  (dvđd)

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)  (dvđd)

Câu 3:

Giải phương trình

a) \(\sqrt {x + 3}  + \sqrt {16x + 48}  = 6 + \sqrt {9x + 27} \). Điều kiện xác định: \(x \ge  - 3\) .\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + \sqrt {16\left( {x + 3} \right)}  = 6 + \sqrt {9\left( {x + 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + 4\sqrt {x + 3}  = 6 + 3\sqrt {x + 3} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 3}  = 6\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  = 3\\ \Leftrightarrow x + 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6\,\,\,\,\,\,(tm)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 6.\)

b) \(\sqrt {4x + 1}  = x - 1\). Điều kiện xác định: \(x \ge  - \dfrac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\4x + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 6x = 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\\x = 6\,\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 6.\)

Câu 4:

Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳng d  không qua O cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm A và B. Điểm C thuộc tia đối của tia AB. Vẽ CE và CF là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Vì Hlà trung điểm của dây cung ABcủa \(\left( O \right)\) nên OH vuông góc với AB, suy ra tam giác COHnội tiếp đường tròn đường kính CO  (1)

Vì CElà tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nênCE vuông góc vớiOE, suy ra tam giác COEnội tiếp đường tròn đường kính CO  (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, E, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CO.

b) Gọi CO cắt EF tại K. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow CE = CF\) (tính chất) mà \(OE = OF = R\) (gt)

\( \Rightarrow \)COlà đường trung trực của EF

\( \Rightarrow CO \bot EF\)

Xét tam giác vuông CEO đường cao EK ta có:

\(OK.OC = O{E^2} = {R^2}\)  (đpcm)

c) Đoạn thẳng CO cắt \(\left( O \right)\) tạiI. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

Vì \(OI = OF = R\)  nên tam giác OIE cân tại O

\( \Rightarrow \angle OIF = \angle OFI\) mà  \(\angle CFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFK + \angle OIF = {90^o}\)

\( \Rightarrow \angle CFI = \angle IFK\) (tính chất bắc cầu)

\( \Rightarrow \)FI là phân giác của \(\angle CFE\)   (3)

C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)CI là phân giác của \(\angle ECF\) (tính chất)   (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \)Ilà tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF (đpcm)

d) Tìm vị trí điểm trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều

Tam giác CEF đều \( \Rightarrow \angle ECF = {60^o}\)

Mà CI là phân giác của \(\angle ECF\)(cmt) \( \Rightarrow \angle FCO = {30^o}\)

Có tam giác FCO vuông tại F có \(\angle FCO = {30^o}\)

\( \Rightarrow OC = 2OF = 2R\)

Vậy điểm trên tia đối của tia AB sao cho \(OC = 2R\) thì tam giác CEF đều.

Câu 5:

Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\)

Ta có: \(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4 - 4x + 4x}}{x} \)\(\,= \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4\)

Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x > 0 \Rightarrow \)\(\dfrac{x}{{1 - x}} > 0\) và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\dfrac{x}{{1 - x}}\)và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{1 - x}}.\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}}  = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4 \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 8\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} = \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{x}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 4{\left( {x - 1} \right)^2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - 2\\x =  - 2x + 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 đặt được khi \(x = \dfrac{2}{3}.\)

Xem lời giải

Đề số 19 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Phần I: Trắc nghiệm khách quan 

Học sinh ghi đáp án đúng là A, B, C hoặc D vào tờ giấy thi

1 .Điều kiện xác định của biểu thức\(\sqrt {6 - 3x} \) là:

A.\(x \le 2\)                  B. \(x \ge 2\)

C. \(x \ge 0\)                D.\(x < 2\)

2 .Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(p = \sqrt {x + 3}  - 1\) là:

A.\(3\)                          B.\( - 1\)

C. \( - 3\)                      D.\(0\)

3 .Giá trị biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}}\)khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) là:

A. \( - 11 + 6\sqrt 3 \)              B. \(\dfrac{{ - 11 - 6\sqrt 3 }}{{13}}\)         

C. \(\dfrac{{ - 5 - 12\sqrt 3 }}{{37}}\)              D.\(1\)

4 .Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \sqrt 3 \). Số đo độ của góc ABC bằng:

A. \({30^0}\)                           B. \({60^0}\)  

C. \({45^0}\)                           D.\({50^0}\)

5 .Với giá trị nào của a thì hàm số \(y = \left( {a - 5} \right)x + 1\) đồng biến trên tập\(\mathbb{R}\)?

A. \(a < 5\)                   B. \(a > 5\)

C. \(a = 5\)                   D.\(a >  - 5\)

6 .Cho hai đường thẳng\(\left( {{d_1}} \right)\)\(:\,\,y = 2x + 3\) và\(\left( {{d_2}} \right)\)\(:\,\,y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 2\) (với m là tham số). Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\)?

A. \(m = 2\)    

B. \(m = 1\) hoặc\(m =  - 1\)   

C. \(m = 1\)

D.\(m =  - 1\)

7 .Cho EM, EN là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) với tiếp điểm M, N. Khẳng định nào sau đây là sai:

A. \(\angle EMO = {90^o}\)

B.Bốn điểm E, M, O, N cùng thuộc một đườngtròn 

C. MN là trung trực của EO  

D.OE là phân giác của\(\angle MON\)

8 .Hai đường tròn \(\left( {O;5} \right)\)và \(\left( {O';8} \right)\) có vị trí tương đối với nhau như thế nào biết \(OO' = 12\)

A. Tiếp xúc nhau

B. Không giao nhau   

C. Tiếp xúc ngoài

D.Cắt nhau

Phần II: Tự luận 

Câu 1 :Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}\)và \(B = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\) với \(x \ge 0\,,\,\,x \ne 9\)

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\dfrac{A}{B} <  - \dfrac{1}{2}\).

Câu 2 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right)\)\(:\,\,y = ax + 3\).

1) Xác định a biết \(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\). Vẽ đồ thị với a vừa tìm được.

2) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt OxOy lần lượt tại hai điểm MN sao cho diện tích tam giác OMN bằng 4.

Câu 3 :Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn (với E, F là các tiếp điểm).

1) Chứng minh các điểm M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

3) Kẻ đường kính ED của \(\left( {O;R} \right)\). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MDFK. Chứng minh P là trung điểm của FK.

Câu 4:Giải phương trình \({x^2} + x - 17 = \sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + \sqrt {{x^2} - 15}  + \sqrt {x - 3} \)

Câu 2:

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right)\)\(:\,\,y = ax + 3\).

1) Xác định a biết \(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\). Vẽ đồ thị với a vừa tìm được.

\(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\)\( \Rightarrow  - 1 = a.1 + 3 \Leftrightarrow a =  - 4\)

Vậy với \(a =  - 4\) thì \(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\)

Với \(a =  - 4\) thì \(\left( d \right)\,:\,\,y =  - 4x + 3\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\) và \(H\left( {0;3} \right)\)

2) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt Ox và Oy lần lượt tại hai điểm M và N sao cho diện tích tam giác OMN bằng 4.

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt Ox và Oy lần lượt tại hai điểm M và N\( \Leftrightarrow \,\,a \ne 0\)

\(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và trục Ox

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_M} = a{x_M} + 3\\{y_M} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} =  - \dfrac{3}{a}\\{y_M} = 0\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow M\left( { - \dfrac{3}{a};0} \right) \Rightarrow OM = \left| { - \dfrac{3}{a}} \right| = \left| {\dfrac{3}{a}} \right|\)

\(N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và trục Oy

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_N} = a{x_N} + 3\\{x_N} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 0\\{y_M} = 3\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow N\left( {0;3} \right) \Rightarrow ON = 3\)

Diện tích tam giác OMN bằng 4 \( \Rightarrow {S_{\Delta OMN}} = \dfrac{1}{2}OM.ON = \dfrac{1}{2}.\left| {\dfrac{3}{a}} \right|.3 = \dfrac{9}{2}.\left| {\dfrac{1}{a}} \right| = 4 \)

\(\Leftrightarrow \left| {\dfrac{1}{a}} \right| = \dfrac{8}{9} \Leftrightarrow \left| a \right| = \dfrac{9}{8} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{9}{8}\\a =  - \dfrac{9}{8}\end{array} \right.\)

Câu 3:

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn (với E, F là các tiếp điểm).

1) Chứng minh các điểm M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.

Vì MElà tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên MEvuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO  (1)

Vì MF là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên MFvuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO  (2)

Từ (1) và (2) suy ra M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Gọi \(MO \cap EF = \left\{ H \right\}\)

Vì là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow ME = MF\) (tính chất) mà \(OE = OF = R\) (gt)

\( \Rightarrow \)MO là đường trung trực của EF

\( \Rightarrow MO \bot EF\)

\( \Rightarrow \angle IFE + \angle OIF = {90^o}\,\)

Vì \(OI = OF = R\)  nên tam giác OIF cân tại O

\( \Rightarrow \angle OIF = \angle OFI\)  mà  \(\angle MFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFE + \angle OIF = {90^o}\)

\( \Rightarrow \angle MFI = \angle IFE\)

\( \Rightarrow \)FI là phân giác của \(\angle MFE\)   (1)

Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)MI là phân giác của \(\angle EMF\) (tính chất)   (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \)I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF  (đpcm)

3) Kẻ đường kính ED của \(\left( {O;R} \right)\). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Chứng minh P là trung điểm của FK.

Gọi G là giao điểm của tia DF và tia EM.

Ta có \(\angle EFD = {90^o}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\( \Rightarrow EF \bot DG\)mà \(EF \bot OM\) (cmt)

\( \Rightarrow OM//DG\) (từ vuông góc đến song song)

Tam giác EDG có \(OE = OD\,\,;\,\,OM//DG\,\, \Rightarrow ME = MG\)(tính chất đường trung bình)

Áp dụng định lý Ta-let cho tam giác EDM có \(PK//ME\) (cùng vuông góc với ED) ta được:\(\dfrac{{PK}}{{ME}} = \dfrac{{DP}}{{DM}}\)     (3)

Áp dụng định lý Ta-let cho tam giác MDG có \(PF//MG\) (cùng vuông góc với ED) ta được:   \(\dfrac{{PE}}{{MG}} = \dfrac{{DP}}{{DM}}\)     (4)

Từ (3) và (4) suy ra   \(\dfrac{{PK}}{{ME}} = \dfrac{{PF}}{{MG}}\)  mà  \(ME = MG\) (cmt)

\( \Rightarrow PK = PF\,\, \Rightarrow \)P là trung điểm của FK.

Câu 4:

 Giải phương trình \({x^2} + x - 17 = \sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + \sqrt {{x^2} - 15}  + \sqrt {x - 3} \)

 

Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 15 \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge \sqrt {15} \\x \le  - \sqrt {15} \end{array} \right.\\x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \sqrt {15} \)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^2} + x - 17 = \sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + \sqrt {{x^2} - 15}  + \sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 34 = 2\sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + 2\sqrt {{x^2} - 15}  + 2\sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 15 - 2\sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + x - 3 + {x^2} - 15 - 2\sqrt {{x^2} - 15}  + 1 + x - 3 - 2\sqrt {x - 3}  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - \sqrt {x - 3} } \right]^2} + {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - 1} \right]^2} + {\left[ {\sqrt {x - 3}  - 1} \right]^2} = 0\end{array}\)

Ta thấy: \({\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - \sqrt {x - 3} } \right]^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \sqrt {15} \)

            \({\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - 1} \right]^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \sqrt {15} \)

            \({\left[ {\sqrt {x - 3}  - 1} \right]^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \sqrt {15} \)

Vậy phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - \sqrt {x - 3} } \right]^2} = {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - 1} \right]^2} = {\left[ {\sqrt {x - 3}  - 1} \right]^2} = 0\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 15}  = \sqrt {x - 3}  = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 15 = x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\)(tmđk)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 4\)

Xem lời giải

Đề số 20 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1 : Cho hai biểu thức: \(A\, = \,\dfrac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B\, = \,\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

1. Tính giá trị của A khi \(x = 4.\)

2. Rút gọn B.

3. So sánh A.B với 5.  

Câu 2 :

1. Thực hiện phép tính: \(\left( {3\sqrt 8  - \sqrt {18}  + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}}  + \sqrt {50} } \right).3\sqrt 2 .\)

2. Giải phương trình: \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  - 5 = 2.\)

Câu 3 : Cho hàm số \(y = 3x + 2\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right).\)

1. Điểm \(A\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\) có thuộc đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) không? Vì sao?

2. Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có phương trình \(y =  - 2x - m\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Câu 4 : Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuốc đường tròn (C khác AB). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BCD. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt ADE.

1. Chứng minh bốn điểm A,E,C,O cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh \(BC.BD = 4{R^2}\) và OE song song với BD.

3. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia ECF. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

Câu 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010\) với \(x > 2.\)

Ta có \(OE\parallel CA\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \angle OMC = {90^o}\)

Mặt khác \(\angle MCN = \angle ONC = {90^o}\) \( \Rightarrow \,OMCN\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \) \(\angle OMN = \angle OCN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(ON\))

Ta có \(\angle OHC = \angle ONC = {90^o}\) \( \Rightarrow \) OHCN là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \) \(\angle OHN = \angle OCN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(ON\))

\( \Rightarrow \angle OMN = \angle OHN\left( { = \angle OCN} \right)\)

\( \Rightarrow \) HMNO là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua O là điểm cố định. (đpcm)

Câu 5: 


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010\) với \(x > 2.\)

\(P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010 = x - 2 + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2012\)

Với \(x > 2 \Leftrightarrow x - 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{9}{{x - 2}} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(x - 2\) và \(\dfrac{9}{{x - 2}}\)

\(\begin{array}{l}x - 2 + \dfrac{9}{{x - 2}} \ge 2.\sqrt {\left( {x - 2} \right).\dfrac{9}{{x - 2}}}  = 2\sqrt 9  = 6\\ \Rightarrow \,P = x - 2 + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2012 \ge 6 + 2012 = 2018\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x - 2 = \dfrac{9}{{x - 2}} \)

\(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 9\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 =  - 3\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow x = 5\) (do \(x > 2\))

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2018 tại \(x = 5\).

Xem lời giải

Đề số 21 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1 :

Cho biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right):\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\).

1. Rút gọn P.

2. Tính giá trị của P biết \(x = 2019 - 2\sqrt {2018} \)

Câu 2:

Cho hàm số \(y = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right)x - 4\,\,\,\,\,\left( d \right)\), (với m là tham số)

1. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

2. Tìm m để \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\).

3. Tìm m để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\).

Câu 3 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {x^2} + 3\\x - y =  - 4\end{array} \right.\)  (với m là tham số)

1. Giải hệ với \(m = 3\).

2. Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\). Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = {x^2} - 2y + 10\).

Câu 4  : Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) không có điểm chung với đường tròn \(\left( O \right)\), H là hình chiếu vuông góc của O trên \(\left( \Delta  \right)\). Từ điểm M bất kỳ trên \(\left( \Delta  \right)\) (\(M \ne H\)), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn \(\left( O \right)\) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I thứ tự là giao điểm của AB với OMOH.

1. Chứng minh \(AB = 2AK\) và 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh \(OI.OH = OK.OM = {R^2}\).

3. Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho \(AN = 2ON\). Đường trung trực của BN cắt OME. Tính tỉ số \(\dfrac{{OE}}{{OM}}\).

Câu 5 :

Giải phương trình: \(\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  = \sqrt x  + \sqrt y  + 2\)

Xem lời giải

Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”