Bài 1:
a) Ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (gt) \( \Rightarrow \overparen{ DB} = \overparen{ DC}\)
\( \Rightarrow OD \bot BC\) ( đường kính đi qua điểm chính giữa của dây cung).
b) Ta có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A\)\(\, = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) (\(\widehat A = 90^\circ \) vì BC là đường kính).
\( \Rightarrow \dfrac{{\widehat B} }{ 2} + \dfrac{{\widehat C} }{ 2} = 45^\circ \) hay \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 45^\circ \)
Trong ∆BIC có :
\(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)\)\(\, = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
Bài 2:
a) Ta có tứ giác BDEF nội tiếp ( vì \(\widehat {BDE} + \widehat {{\rm{BF}}E} = 180^\circ \))
\( \Rightarrow \widehat {BDF} + \widehat {{\rm{DEF}}} = 180^\circ \)
Tương tự tứ giác CHEF nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {HCF} + \widehat {FEH} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {DBF} = \widehat {HCF}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó \(\widehat {{\rm{DEF}}} = \widehat {FEH}\) (1)
b) Ta có \(\widehat {EDF} = \widehat {EBF}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung EF)
\(\widehat {EBF} = \widehat {ECH}\) (góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung EC)
\(\widehat {ECH} = \widehat {EFH}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung EH)
Do đó \(\widehat {EDF} = \widehat {EFH}\) (2)
Từ (1) và (2), ta có :
∆EFD và ∆EHF đồng dạng (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{EF} }{ {EH}} = \dfrac{{ED}}{{EH}} \Rightarrow E{H^2} = ED.EH\).
c) Ta có \(\widehat {EFM} = \widehat {EBC}\) (cmt),
\(\widehat {NFE} = \widehat {BCE}\) (cmt)
mà \(\widehat {NEM} + \widehat {BCE} + \widehat {EBC} = 180^\circ \) ( tổng ba góc của tam giác)
\( \Rightarrow \widehat {NEM} + \widehat {NEF} + \widehat {EFM} = 180^\circ \) hay \(\widehat {NEM} + \widehat {NFM} = 180^\circ \)
Do đó tứ giác MENF nội tiếp.
d) Dễ thấy tứ giác ABOC nội tiếp (\(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 180^\circ \))
\( \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BOC} = 180^\circ \) mà \(\widehat {BAC} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {BOC} = 150^\circ \)
Vậy \({l_{\overparen{BC}}} =\dfrac{{\pi R.150} }{ {180}} = \dfrac{{5\pi R}}{ 5}\) và \({S_q} = \dfrac{{\pi {R^2}.150} }{ {360}} = \dfrac{{5\pi {R^2}}}{ {12}}.\)
