Vì \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\) nên theo hệ thức Vi-ét ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
Xét \(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).
Biến đổi vế phải:
\(a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}){\rm{ }} \)
\(= a\left( {{x^2} - x{x_2} - x{x_1} + {x_1}{x_2}} \right) \)
\(= {\rm{ }}a{x^2}-{\rm{ }}a({x_1} + {\rm{ }}{x_2})x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{x_1}{x_2}\)
\(\displaystyle = a{x^2} - a\left( { - {b \over a}} \right)x + a{c \over a} = a{x^2} + bx + c\)
Vậy phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1},{x_2}\) thì:
\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).
Áp dụng:
a) Phương trình \(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0\) nên có hai nghiệm là \(\displaystyle {x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2}\) nên:
\(\displaystyle 2{x^2}{\rm{ + }}5x + 3 = 2(x{\rm{ - }}1)(x - {\rm{ }}{3 \over 2}) = (x - 1)(2x - 3)\)
b) Phương trình \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2=0\) có \(a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2\).
Nên \(\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10\) suy ra phương trình có hai nghiệm là:
\({x_1}\) = \(\dfrac{-4 - \sqrt{10}}{3}\), \({x_2}\)= \(\dfrac{-4 + \sqrt{10}}{3}\)
nên: \(\displaystyle 3{x^2} + 8x + 2 = 3(x - {\rm{ }}{{ - 4 - \sqrt {10} } \over 3})(x - {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {10} } \over 3})\)
\(\displaystyle = 3(x + {\rm{ }}{{4 + \sqrt {10} } \over 3})(x + {\rm{ }}{{4 - \sqrt {10} } \over 3})\)
