Bài 1: Giả sử phương trình có hai nghiệm \(x_1;x_2\). Theo định lí Vi-ét, ta có :
\(\left\{ \matrix{ {x_1} + {x_2} = 2 \hfill \cr {x_1}{x_2} = m + 2 \hfill \cr} \right.\)
Khi đó : \(x_1^2 + x_2^2 = 10 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)
\( \Leftrightarrow 4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow m = - 5\)
Thử lại: với \(m = − 5\), ta có phương trình \(:{x^2} - 2x - 3 = 0.\)
\(a = 1; c = − 3 \Rightarrow ac < 0.\) Vậy phương trình có nghiệm ( khác dấu).
( Nếu tìm điều kiện \(∆’ >\) 0 trước và xét \(x_1^2 + x_2^2 = 10\) sau thì không cần thử lại.
Bài 2: Phương trình có hai nghiệm khác dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow m < 0.\)
Bài 3:
+) Trường hợp 1 : Hai phương trình cùng vô nghiệm ( điều này không xảy ra vì phương trình \({x^2} + mx - 2 = 0\) có \(a = 1; c = − 2 \Rightarrow ac < 0\) nên luôn có nghiệm).
+) Trường hợp 2 : Hai phương trình có nghiệm
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\Delta _1} \ge 0 \hfill \cr \Delta {'_2} \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {m^2} + 8 \ge 0 \hfill \cr 1 - m \ge 0 \hfill \cr} \right. \)\(\;\Leftrightarrow m \le 1.\)
Khi đó, hai phương trình tương đương \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {S_1} = {S_2} \hfill \cr {P_1} = {P_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - m = 2 \hfill \cr - 2 = m \hfill \cr} \right. \)\(\;\Leftrightarrow m = - 2.\)
Vậy \(m = - 2.\)
