a) Ta có:
\( x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} \)
\(= 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \)
\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}\)\( + {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}\)
\( = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) (với \(x \ge 2\))
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
\(\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \)
\( = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2}\)\( + \sqrt {2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2} \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)}^2}}\)\( + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} }\right)}^2}} \)
\( = \left| {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right| + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\)
\( = \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\)
+) Nếu \(\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \ge 0\) thì
\(\eqalign{
& \sqrt {x - 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr} \)
Với \(2 \le x \le 4\) thì \(\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \)
Ta có:
\(\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 \)
+) Nếu \(\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} < 0\) thì
\(\sqrt {x - 2} > \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4\)
Với \(x > 4\) thì \(\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \)
Ta có:
\(\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 2} - \sqrt 2\)\( = 2\sqrt {x - 2} \)
