Các tam giác vuông \(AEH, BFE, CGF, DHG\) có:
\(AE = BF = CG = DH\) (1) (gt)
Theo giả thiết \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB=BC=CD=DA\) (2) (tính chất hình vuông)
Mà: \(AH = AD - DH, BE = AB - AE, \)\(CF = BC - BF, DG = DC - CG \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AH = BE = CF = DG\)
Suy ra \(∆AEH = ∆BFE = ∆CGF \)\(= ∆DHG\) (hai cạnh góc vuông)
Do đó
\(\widehat{EHA} = \widehat{FEB}\) (hai góc tương ứng bằng nhau) (4)
\(HE = EF = FG = GH\) ( các cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Xét tam giác \(AHE\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat{HEA}\) + \(\widehat{EHA}=90^0\) (5)
Từ (4) và (5) ta có
\(\widehat{HEF} = 180^0- (\widehat{HEA}\) + \(\widehat{FEB}) \)
\(= 180^0- (\widehat{HEA}\) + \(\widehat{EHA})\)
\(= 180^0- 90^0= 90^0\)
\( \Rightarrow \) Hình thoi \(EFGH\) là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)
