Bài 1. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\) \(⇔ -k + 2 < 0 ⇔ k > 2\).
Bài 2. Với \({x_1},\,{x_2}\) bất kì thuộc \(\mathbb R\) và \({x_1}<{x_2}\). Ta có:
\(\eqalign{ & f\left( {{x_1}} \right) = {1 \over 2}{x_1} + 1 \cr & f\left( {{x_2}} \right) = {1 \over 2}{x_2} + 1 \cr & \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = {1 \over 2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0\cr&\left( {\text{Vì }\,{x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0} \right) \cr & \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) \cr} \)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).
Bài 3. Ta có: \(f(0) = 2\) \(⇔ a.0 + b = 2 ⇔ b = 2\)
Khi đó : \(f(x) = ax + 2\)
Lại có : \(f\left( 1 \right) = \sqrt 2 \)\(\; \Leftrightarrow a.1 + 2 = \sqrt 2 \Leftrightarrow a = \sqrt 2 - 2\)
Vậy : \(f\left( x \right) = \left( {\sqrt 2 - 2} \right)x + 2\)
Bài 4. Ta thấy \(a = 1 - \sqrt 5 < 0\) nên hàm số nghịch biến. Khi đó :
\(1 - \sqrt 5 < 1 + \sqrt 5 \)\(\;\Rightarrow f\left( {1 - \sqrt 5 } \right) > f\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\)
Chú ý : Ta có thể tính \(f\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\) và \(f\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\) và so sánh hai giá trị này.
