a) Với \(m = 1\) ta có hàm số \(y = 4{x^3} + x\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 12{x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đi qua các điểm \(\left( {0;0} \right),\left( {1;5} \right),\left( { - 1; - 5} \right)\).
b) Do tiếp tuyến song song đường thẳng \(y = 13x + 1\) nên \(k = 13\).
Ta có: \(12{x^2} + 1 = 13 \Leftrightarrow 12{x^2} = 12\) \( \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Với \(x = 1\) thì \(y = 5\), ta có tiếp tuyến \(y = 13\left( {x - 1} \right) + 5\) hay \(y = 13x - 8\).
Với \(x = - 1\) thì \(y = - 5\), ta có tiếp tuyến \(y = 13\left( {x + 1} \right) - 5\) hay \(y = 13x + 8\).
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là \(y = 13x \pm 8\).
c) Vì \(y' = 12{x^2} + m\) nên :
+) Với \(m \ge 0\) ta có \(y' \ge 0\) với mọi \(x\).
Do đó hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi \(m \ge 0\).
+) Với \(m < 0\) thì \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} \)
Từ đó suy ra:
+) \(y' > 0\) với \(x < - \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} \) và \(x > \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} \) nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} } \right),\left( {\sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} ; + \infty } \right)\).
+) \(y' < 0\) với \( - \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} < x < \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} \) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} ;\sqrt {\dfrac{{ - m}}{{12}}} } \right)\).
