Xét hàm \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6mx = 6x\left( {x + m} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - m\end{array} \right.\)
+) Nếu \(m = 0\) thì \(y' = 6{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
+) Nếu \(m \ne 0\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Rightarrow \) Hàm số có hai điểm cực trị.
Đẻ phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) có một giao điểm duy nhất với trục hoành \( \Leftrightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\).
Ta có: \({x_1} = 0,{x_2} = - m\) \( \Rightarrow {y_1} = - 5,{y_2} = {m^3} - 5\).
\({y_1}.{y_2} = - 5\left( {{m^3} - 5} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^3} - 5 < 0 \Leftrightarrow m < \sqrt[3]{5}\).
Vậy \(m < \sqrt[3]{5}\).
Chọn B.
