Phương pháp:
Trong một tam giác:
+) Hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại
+) Độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại
Giả sử \(CD\) là một dây của đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và \(AB\) là một đường kính của nó. Ta có:
- Nếu \(C, O, D\) không thẳng hàng thì trong tam giác \(COD\) có
\(CD < OC + OD\) \(= 2R = AB.\)
- Nếu \(C, O, D\) thằng hàng thì
\(CD = OC + OD\) \(= 2R = AB\)
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có đường kính là dây lớn nhất.
Bài 3.6
Chứng minh “Bất đẳng thức tam giác mở rộng ”: Với ba điểm \(A, B, C\) bất kỳ, ta có
\(AB + AC ≥ BC\)
Phương pháp:
Sử dụng:
Trong một tam giác:
+) Hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại
+) Độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại
- Nếu \(A, B, C\) không thẳng hàng thì trong tam giác \(ABC\) ta có \(AB + AC > BC\)
- Nếu \(A, B, C\) thẳng hàng và \(A\) ở giữa \(B\) và \(C\) hoặc trùng \(B, C\) thì \(AB + AC = BC\) (Hình a)
- Nếu \(A, B, C\) thẳng hàng và \(A\) ở ngoài \(B\) và \(C\) thì \(AB +AC > BC\) (Hình b)
Vậy với ba điểm \(A, B, C\) bất kỳ ta luôn có \(AB + AC ≥ BC\)
Bài 3.7
Cho đường thẳng \(d\) và hai điểm \(A, B\) nằm cùng một phía của \(d\) và \(AB\) không song song với \(d.\) Một điểm \(M\) di động trên \(d.\) Tìm vị trí của \(M\) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) là lớn nhất
Phương pháp:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác. Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(|AB-AC|<BC<AB+AC\)
Vì \(AB\) không song song với \(d\) nên \(AB\) cắt \(d\) tại \(N.\)
Với điểm \(M\) bất kỳ thuộc \(d\) mà \(M\) không trùng với \(N\) thì ta có tam giác \(MAB.\)
Do đó, theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(\left| {MA - MB} \right| < AB\)
Khi \(M ≡ N\) thì
\(\left| {MA - MB} \right| = AB\)
Vậy \(\left| {MA - MB} \right|\) lớn nhất là bằng \(AB,\) khi đó \(M ≡ N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(d\) và \(AB.\)
