Bài 4 trang 93 SGK Hình học 10

Cho đường thẳng \(Δ: x – y + 2\) và hai điểm \(O(0; 0); \, A(2; 0).\)

a) Tìm điểm đối xứng của \(O\) qua \(Δ\)

b) Tìm điểm \(M\) trên \(Δ\) sao cho độ dài đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.

Lời giải

a) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(Δ, H\) là giao điểm của đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(Δ\).

\(\overline {OH}  = (x;y)\)

\( Δ: x – y + 2 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u (1;1)\)

 \(\overrightarrow {OH}  \bot \Delta  \Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{ x + y = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H( - 1;1)\)

Gọi \(O’\) là đỉnh đối xứng của \(O\) qua \(Δ\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OO’\)

\(\eqalign{
& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \cr&\Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr
& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2}\cr& \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \)

Vậy \(O’(-2;2)\).

b) Nối \(O’A\) cắt \(Δ\) tại \(M\)

Ta có: \(OM = O’M\)

\(⇒ OM + MA = O’M + MA = O’A\)

 

Giả sử trên \(Δ\) có một điểm \(M’ ≠ M\), ta có ngay:

\(OM’ +M’A > O’A\)

Vậy điểm \(M\), giao điểm của \(O’A\) với \(Δ\), chính là điểm thuộc \(Δ\) mà độ dài của đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.

\(A(2; 0); O(-2; 2)\) nên \(O’A\) có hệ phương trình: \(x + 2y – 2 = 0\)

Tọa độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{ x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M( - {2 \over 3},{4 \over 3})\)

 


Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”