Gọi \(M(x; y)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng trên.
Khi đó, khoảng cách từ \(M\) đến \(d_1 : 3x - 4y + 12 = 0\) là:
\(d(M,{d_1}) = {{|3x - 4y + 12|} \over {\sqrt {9 + 16} }} = {{|3x - 4y + 12|} \over 5}\)
Khoảng cách từ \(M\) đến \(d_2: 12x + 15y – 7 = 0\) là:
\(d(M,{d_2}) = {{|12x + 5y - 7|} \over {\sqrt {144 + 25} }} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}}\)
Ta có: \(M\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) nên cách đều hai đường thẳng đó.Suy ra:
\(\eqalign{
& d(M,{d_1}) = d(M,{d_2})\cr& \Leftrightarrow {{|3x - 4y + 12|} \over 5} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{3x - 4y + 12} \over 5} = {{12x + 5y - 7} \over {12}} \hfill \cr
{{3x - 4y + 12} \over 5} = - {{12x + 5y - 7} \over {13}} \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
21x + 77y - 191 = 0 \hfill \cr
99x - 27y + 121 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy ta có phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\) là:
\(\Delta _1: 21x + 77y – 191 = 0\)
\(\Delta _2: 99x – 27y + 121 = 0\)
