Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác \(ABCDE\)
\(sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{BC} = sđ \overparen{CD}\)\(= sđ \overparen{DE} = sđ \overparen{AE}=\dfrac{360^\circ}{5}= 72^\circ\)\(\;\; (1)\)
\(\widehat {{E_1}} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AB}\) (tính chất góc nội tiếp) \( (2)\)
\(\widehat {{D_1}} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AE}\) (tính chất góc nội tiếp) \( (3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\)
Xét \(∆AIE\) và \(∆AED:\)
+) \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên)
+) \(\widehat A\) chung
Suy ra: \(∆AIE\) đồng dạng \(∆AED (g.g)\)
Do đó: \( \displaystyle {{AI} \over {AE}} = \displaystyle{{AE} \over {AD}}\)
\( \Rightarrow \) \(AE^2= AI. AD \)\(\;\; (*)\)
Lại có: \(\widehat {{E_2}} = \displaystyle {1 \over 2}sđ \overparen{BCD}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {{E_2}} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{BC} + sđ \overparen{CD}\)) \(\;\; (4)\)
\(\widehat {{I_1}} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DE} + sđ \overparen{AB}\)) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn) \( (5)\)
Từ \((1),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{I_1}}\)
\( \Rightarrow \) \(∆DEI\) cân tại \(D\) \( \Rightarrow DE = DI\)
\( DE = AE\;\; (gt)\)
Suy ra:\(DI = AE \;\; (**)\)
Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra:\( DI^2= AI. AD\)
