+ Nếu góc \(N\) nhọn (hình a)
\(∆MNP\) có \(\hat N\) nhọn nên chân đường cao \(H\) kẻ từ \(M\) nằm giữa \(N\) và \(P.\)
Ta có hình chiếu của \(MN\) và \(MP\) lần lượt là \(HN\) và \(HP.\)
Từ giả thiết \(MN < MP\) \( \Rightarrow HN < HP\) (quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu).
\(∆MNP\) có \(MN < MP\) \( \Rightarrow\) \(\widehat {MPN} < \widehat {MNP}\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác) (1)
Lại có \(\widehat {NMH} + \widehat {MNH} = {90^o}\) (\(∆MNH\) vuông tại \(H\)) (2)
\(\widehat {MPH} + \widehat {PMH} = {90^o}\) (\(∆MHP\) vuông tại \(H\)) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {NMH} < \widehat {PMH}\)
(Giải thích nếu tổng của hai cặp số cùng bằng nhau (bằng \( 90^o\) chẳng hạn) thì số nào cộng với số lớn hơn thì nhỏ hơn số kia. Tức là:
\(a + b = 90^o ; \quad \quad c + d = 90^o\)
mà \(b > d\) thì suy ra \(a < c\))
+ Nếu góc \(N\) tù (hình b)
\(∆MNP\) có \(\hat N\) tù nên chân đường cao \(H\) ở ngoài cạnh \(NP\) và \(N\) ở giữa \(H\) và \(P\)
\( \Rightarrow HN < HP.\)
Vì \(N\) ở giữa \(H\) và \(P\) nên tia \(MN\) ở giữa hai tia \(MH\) và \(MP.\) Từ đó suy ra \(\widehat {HMN} < \widehat {HMP}\).
