Ta có :
\(\widehat {AEC} = \dfrac{{sd\overparen{AB} - sd\overparen{CD}} }{ 2} \)\(\,= \dfrac{{sd\overparen{AC} - sd\overparen{CD}}}{ 2} = \dfrac{{sd\overparen{AD}} }{ 2}\) ( vì \(\overparen{AB} = \overparen{AC}\) )
Lại có \(\widehat {ACD} = \dfrac{{sd\overparen{AD}}}{2} \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {ACD}\)
\( \Rightarrow ∆ACD\) và \(∆AEC\) đồng dạng (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD} }{ {AC}} =\dfrac {{AC} }{{AE}} \Rightarrow A{C^2} = AD.AE\)
\(∆ABC\) vuông cân ( chắn nửa đường tròn) có \(BC = 2R.\)
Đặt \(AB = AC = x.\)
Theo định lí Py-ta-go:
\(\eqalign{
& {x^2} + {x^2} = {\left( {2R} \right)^2} \Rightarrow 2{x^2} = 4{R^2} \cr
& \Rightarrow {x^2} = 2{R^2} \Rightarrow x = R\sqrt 2 \cr} \)
Vậy \(AB = AC = R\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = AD.AE \)
\(\Rightarrow AD.AE = 2{R^2}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có :
\(2AD + AE \ge 2\sqrt {2AD.AE} \)
\(2AD + AE \ge 4R\)
Dấu “ = ” xảy ra \( \Leftrightarrow 2AD = AE = 2R\)
Do đó khi D thuộc cung AC sao cho \(AD = R \) thì \(2AD + AE\) nhỏ nhất.
