a) Ta có \(\widehat {PMD} = \dfrac{{sd\overparen{DA} + sd\overparen{MA}}}{ 2}\) ( góc giữa tiếp tuyến và một dây)
\(\widehat {PIM} = \dfrac{{sd\overparen{DB} + sd\overparen{MA}}}{ 2}\) ( góc có đỉnh bên trong đường tròn)
Mà \(\overparen{ DB} = \overparen{ DA}\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {PMD} = \widehat {PIM}\)
Do đó \(∆PMI\) cân tại đỉnh P \( \Rightarrow PM = PI.\)
b) \(PM = PN\) ( (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(PM = PI\) (cmt) \( \Rightarrow PN = PI\) nên \(∆PNI\) cân \( \Rightarrow \widehat {PNI} = \widehat {PIN}\)
Mà \(\widehat {PNI} = \widehat {PNA} + \widehat {ANI}\) và \(\widehat {PIN} = \widehat {INB} + \widehat B\) ( góc ngoài của ∆NIB)
Mà \(\widehat B = \widehat {PNA}\) (góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây)
\( \Rightarrow \widehat {ANI} = \widehat {INB}\) hay NI là phân giác của \(∆ANB.\)
Theo tính chất đường phân giác, ta có :
\(\dfrac{{IA}}{{IB}} = \dfrac{{NA} }{ {NB}}\)
\( \Rightarrow IA.NB = IB.NA.\)
