Bài 1. Ta có:
\({b^2} + {c^2} + 2bc - {a^2} = {\left( {b + c} \right)^2} - {a^2} \)\(\;= \left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\)
Theo giả thiết: \(a + b + c = 2p \Rightarrow b + c = 2p - a\)
\( \Rightarrow b + c - a = 2p - 2a = 2\left( {p - a} \right).\)
Vậy: \({b^2} + {c^2} + 2bc - {a^2} = 2p.2\left( {p - a} \right)\)\(\; = 4p\left( {p - a} \right)\) (đpcm).
Bài 2. Ta có: \({{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)
\( \Rightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca\)
\( \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\)
\( \Rightarrow a - b = 0;b - c = 0\) và \(c - a = 0 \Rightarrow a = b = c.\)
Bài 3. Ta có:
\({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 5 \)
\(= \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right)\)
\( = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 0\)
\( \Rightarrow x - 1 = 0\) và \(y + 2 = 0 \Rightarrow x = 1\) hay \(y = - 2.\)
