* Xét tam giác \(DEC\) có
\(M\) là trung điểm \(DE\)
\(N\) là trung điểm \(DC\)
Suy ra, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(DEC\), hay \(MN//EC\) (*) và \(MN = \dfrac{1}{2}EC\) (1)
* Xét tam giác \(BEC\) có
\(Q\) là trung điểm \(BE\)
\(P\) là trung điểm \(BC\)
Suy ra, \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(BEC\), hay \(PQ//EC\) và \(PQ = \dfrac{1}{2}EC\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
* Xét tam giác \(DEB\) có
\(Q\) là trung điểm \(BE\)
\(M\) là trung điểm \(DE\)
Suy ra, \(QM\) là đường trung bình của tam giác \(BED\), hay \(MQ//DB\) (3).
Mà \(AB \bot AC\) (4)
Từ (*), (3) và (4) suy ra \(MN \bot MQ\) (5)
Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành mà có một góc vuông suy ra \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(MP\) và \(QN,\) các điểm \(M, N, P, Q\) đều cách đều \(I\) một khoảng cố định, suy ra \(M, N, P, Q\) cùng thuộc một đường tròn.
