a) Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AH\) là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của \(BC\).
Vì \(O\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên \(O\) nằm trên đường trung trực của \(BC\) hay \(O\) thuộc \(AD\).
Suy ra \(AD\) là đường kính của (O).
b) Tam giác \(ACD\) nội tiếp trong (O) có \(AD\) là đường kính nên suy ra \(\widehat {ACD} = 90^\circ \)
c) Ta có:
\(AH \bot BC\)
\(\Rightarrow HB = HC = \dfrac{{BC}}{2}\)\( = \dfrac{{24}}{2} = 12\,(cm)\)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACH ta có:
\(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} \cr
& = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256 \cr} \)
\(AH = 16\,(cm)\)
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\(\eqalign{
& A{C^2} = AH.AD \cr
& \Rightarrow AD = {{A{C^2}} \over {AH}} = {{{{20}^2}} \over {16}} = 25\,(cm) \cr} \)
Vậy bán kính của đường tròn (O) là :
\(R = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{25}}{ 2} = 12,5\,(cm)\)
