Kéo dài đường cao \(AH\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) tại \(D\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AH\) là đường trung trực của \(BC\). Suy ra \(AD\) là đường trung trực của \(BC.\)
Khi đó \(O\) thuộc \(AD\) hay \(AD\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Tam giác \(ACD\) nội tiếp trong (O) có \(AD\) là đường kính suy ra: \(\widehat {ACD} = 90^\circ \)
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) nên theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:\(C{H^2} = HA.HD\)
Suy ra: \(HD = \dfrac{{C{H^2}}}{{HA}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{BC}}{2}} \right)}^2}}}{{HA}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{12}}{2}} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{6^2}}}{4} = \dfrac{{36}}{4} = 9\)
Ta có:
\(AD = AH +HD = 4 + 9 = 13\) (cm)
Vậy bán kính của đường tròn (O) là:
\(R = \dfrac{{AD}}{ 2} = \dfrac{{13}}{2} = 6,5\) (cm)
