Bài 16 trang 75 SGK Toán 8 tập 1

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), các đường phân giác \(BD, CE\) (\(D ∈ AC, E ∈ AB\)). Chứng minh rằng \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (giả thiết) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = AC\\
\widehat {ABC} = \widehat {ACB}
\end{array} \right.\)  (tính chất tam giác cân)

Vì \(BD, CE\) lần lượt là phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) (giả thiết) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\\\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\end{array} \right.\) (tính chất tia phân giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

 Xét \(∆ABD\) và  \(∆ACE\) có:

+) \(AB = AC\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat{A}\) chung

+) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE{\rm{ }}\left( {g.c.g} \right) \)

\(\Rightarrow A{\rm{D}} = A{\rm{E}}\) (\(2\) cạnh tương ứng).

Ta có \(AD =  AE\) (chứng minh trên) nên  \(∆ADE\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {AD{\rm{E}}}\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(∆ADE\) có:  \(\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {AD{\rm{E}}} + \widehat A = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 1 \right)
\end{array}\)

Xét \(∆ABC\) có: \(\widehat A +\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat {2ABC} + \widehat A = {180^0}\\\Rightarrow \widehat {ABC}= \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{A{\rm{ED}}}\) = \(\widehat{ABC}\), mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra \(DE // BC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Do đó \(BEDC\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Lại có \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)  (chứng minh trên)

Nên \(BEDC\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Ta có:

\(DE//BC \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}}\) (so le trong)

Lại có \(\widehat{B_{2}}\) = \(\widehat{B_{1}}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat{B_{1}}\) = \(\widehat{{D_{1}}}\)

\( \Rightarrow \Delta EB{\rm{D}}\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow EB = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân).

Vậy \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.