Bài 17 trang 75 SGK Toán 8 tập 1

Hình thang \(ABCD\; (AB // CD)\) có \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\). Chứng minh rằng \(ABCD\) là hình thang cân.

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Xét \(∆ECD\) có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow \Delta EC{\rm{D}}\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

\( \Rightarrow EC = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân)   (1)

Ta có:

\({\rm{AB//DC}}\left( \text{giả thiết} \right) \)\(\;\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {{C_1}}\\\widehat {AB{\rm{E}}} = \widehat {{D_1}}\end{array} \right.\left( \text{so le trong} \right)\)

Mà: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\left( \text{giả thiết} \right) \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {AB{\rm{E}}}\) \( \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow AE = BE\) (tính chất tam giác cân)   (2)

Lại có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}AC = A{\rm{E}} + EC\\B{\rm{D}} = BE + DE\end{array} \right.\;\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AC = BD.\)

Suy ra hình thang \(ABCD\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang).