Khi \(a > 0\) và phương trình vô nghiệm thì \(\Delta = b{^2} - 4ac<0\).
Do đó: \(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \dfrac{b}{a}x} \right) + c\\ = a\left( {{x^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}.x + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} + c\\ = a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\end{array}\)
\(=a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)}\)
Vì \(a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\), mọi \(a>0\).
Lại có \(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\) (cmt)
Vì tổng của số không âm và số dương là một số dương do đó
\(a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)} >0\) với mọi \(x\).
Hay \(a{x^2} + bx + c >0\) với mọi \(x\).
