a) Xét \(\Delta BAC\) có \(AM\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\)
\(\Rightarrow \displaystyle{{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác ) (1)
\(CN\) là đường phân giác của \(\widehat {BCA}\)
\(\Rightarrow \displaystyle{{NA} \over {NB}} = {{AC} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác ) (2)
Lại có: \(AB = CB = a\) (gt) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\)
Xét \(\Delta BAC\) có \(\displaystyle {{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\) nên theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có \(MN // AC\).
b) Ta có: \(\displaystyle {{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (chứng minh trên )
\( \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MB}} + 1 = \dfrac{{AC}}{{AB}} + 1\)
\(\Rightarrow \displaystyle {{MC + MB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}} \)
\(\Rightarrow \displaystyle {{CB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}}\)
\(\Rightarrow \displaystyle{a \over {MB}} = {{b + a} \over a}\)
\(\Rightarrow \displaystyle MB = {{{a^2}} \over {a + b}}\)
Xét \(\Delta BAC\) có \(MN // AC\) (chứng minh trên)
Theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{MN} \over {AC}} = {{MB} \over {BC}}\)
\( \Rightarrow MN = \dfrac{{AC.MB}}{{BC}} = \dfrac{{b.\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}}}}{a} \)\(\,= \dfrac{{ab}}{{a + b}}\)
