a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {b^2}\)
\( \Rightarrow BC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Ta có: \( \displaystyle AM = BM = {1 \over 2}BC\) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
\( \displaystyle \Rightarrow AM = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
Từ đó, ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\( \Rightarrow DB = \dfrac{{AB.BC}}{{AB + AC}} = \dfrac{{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + b}}\)
Vậy \(DC = BC - DB \)\(\,=\displaystyle \sqrt {{a^2} + {b^2}} - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}\)\(\,\displaystyle = {{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}\)
\(\eqalign{ & DM = BM - BD \cr & = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} \cr & = {{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} \cr & = {{\left( {b - a} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} \cr} \)
b) Với \(a = 4,15\;cm; b= 7,25 \;cm\), ta tính được:
\( BC = \sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}}\)\(\; \approx 8,35(cm) \)
\(\displaystyle BD = {{4,15\sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}} } \over {4,15 + 7,25}} \)\(\,\approx 3,04(cm) \)
\(DC \approx 5,31(cm) ; AM \approx 4,18(cm) ;\)\(\,DM \approx 1,14(cm) .\)
