a) Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác \(ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
Suy ra:
\( \displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
\(\Rightarrow \displaystyle{{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\(\Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\(\Rightarrow \displaystyle DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{28.12} \over {12 + 20}} \)\(\, = 10,5\; (cm)\)
\(\Rightarrow DC = BC - DB = 28 - 10,5 \)\(\,= 17,5\; (cm)\)
Trong tam giác \(ABC\) có \(DE // AB\) nên theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle {{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\)
\(\Rightarrow \displaystyle DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{17,5.12} \over {28}} = 7,5\)\(\; (cm)\)
b) Vì \(∆ABD\) và \(∆ABC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) do đó,
\(\displaystyle \frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{DB}}{{BC}} = \frac{{10,5}}{{28}} = \frac{{21}}{{56}} = \frac{3}{8}\)
Vậy \(\displaystyle {S_{ABD}} = {3 \over 8}S\)
\({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} \)\(\,\displaystyle = S - {3 \over 8}S = {8 \over 8}S - {3 \over 8}S = {5 \over 8}S\)
Vì \(DE // AB\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {EDA}\) (cặp góc so le trong) (1)
\(AD\) là đường phân giác góc \(A\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {EAD} = \widehat {EDA}\)
Do đó \(\Delta AED\) cân tại \(E\)
\( \Rightarrow AE = DE\) (tính chất tam giác cân).
Vì \(∆ADE\) và \(∆ADC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(D\) do đó,
\(\displaystyle {{{S_{ADE}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{AE} \over {AC}} = {{DE} \over {AC}} = {{7,5} \over {20}}\)
Vậy \(\displaystyle {S_{ADE}} = {{7,5} \over {20}}.{S_{ADC}} = {{7,5} \over {20}}.{5 \over 8}S \)\(\,\displaystyle= {{7,5} \over {32}}S\)
Ta có \(\displaystyle {S_{DCE}} = {S_{ADC}} - {S_{ADE}} \)\(\,\displaystyle = {5 \over 8}S - {{7,5} \over {32}}S = {{12,5} \over {32}}S\).
