Bài 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 phần bài tập bổ sung trang 148, 149 SBT toán 7 tập 1

Bài 6.1

Góc \(ADB\) trên hình bs 3 có số đo bằng

(A) \(20^o\);

(B) \(25^o\);

(C) \(30^o\);

(D) \(35^o\);

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp:

- Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.

- Tính chất: Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.

- Định lí: Tổng các góc của một tam giác bằng \(180^o\).

\(AB=AC\) (gt) \( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\).

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat {{C_1}} = {50^o}\) (tính chất tam giác cân).

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^o}\) (hai góc kề bù).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {{C_2}} = {180^o} - \widehat {{C_1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^o} - {50^o} = {130^o}\end{array}\)

\(CA=CD\) (gt) \( \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại \(C\).

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat D\) (tính chất tam giác cân).

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(\Delta ACD\), ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {{A_1}} + \widehat {{C_2}} + \widehat D = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat D + \widehat {{C_2}} + \widehat D = {180^o}\\ \Rightarrow 2\widehat D = {180^o} - \widehat {{C_2}}\\ \Rightarrow \widehat D = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {{C_2}}}}{2}\\ \Rightarrow \widehat D = \dfrac{{{{180}^o} - {{130}^o}}}{2} = {25^o}\end{array}\)

Vậy \(\widehat {ADB} = {25^o}\).

Chọn B.

Bài 6.2

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = BA.\) Tính số đo góc \(ADB\)

Phương pháp:

- Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.

- Tính chất: Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.

- Định lí: Tổng các góc của một tam giác bằng \(180^o\).

- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)   (1)

Ta có: \(\widehat {{B_1}} + \widehat C = {90^o}\) (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat C = {90^o}:2 = {45^o}\).

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = {180^o}\) (hai góc kề bù)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {{B_2}} = {180^o} - \widehat {{B_1}}\\ \Rightarrow \widehat {{B_2}} = {180^o} - {45^o} = {135^o}\end{array}\)

\(BD = BA \) (gt) \( \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(B\).

\( \Rightarrow \widehat D = \widehat {{A_1}}\) (tính chất tam giác cân).

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(\Delta ABD\), ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_2}} + \widehat D = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat D + \widehat {{B_2}} + \widehat D = {180^o}\\ \Rightarrow 2\widehat D + \widehat {{B_2}} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat D = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {{B_2}}}}{2}\\ \Rightarrow \widehat D = \dfrac{{{{180}^o} - {{135}^o}}}{2} = {22^o}30'\end{array}\)

Vậy \(\widehat {ADB} = {22^o}30'.\)

Bài 6.3

Cho tam giác cân \(ABC\) có \(\widehat A = {100^o}\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(BD = BA, CE = CA.\) Tính số đo góc \(DAE.\)

Phương pháp:

- Áp dụng kết quả: Một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \(a^o\) thì số đo góc ở đáy là \(\dfrac{{{{180}^o} - {a^o}}}{2}\)

- Định lí tổng các góc của một tam giác bằng \(180^o\).

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân).

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat A + 2\widehat B = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat B = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2}\\ \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^o} - {{100}^o}}}{2} = {40^o}\end{array}\)

\(BD = BA\) (gt) \( \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(B\)

\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat B}}{2}\)\(\, = \dfrac{{{{180}^o} - {{40}^o}}}{2} = {70^o}\)

hay \(\widehat {ADE} = {70^o}\)

\(CE = CA\) (gt) \( \Rightarrow \Delta ACE\) cân tại \(C\)

\(\Rightarrow \widehat {AEC} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat C}}{2}\)\(\, = \dfrac{{{{180}^o} - {{40}^o}}}{2} = {70^o}\)

hay \(\widehat {AED} = {70^o}\)

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(\Delta ADE\), ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {DAE} = {180^o} - \left( {\widehat {ADE} + \widehat {AED}} \right)\\ \Rightarrow \widehat {DAE} = {180^o} - \left( {{{70}^o} + {{70}^o}} \right)\\ \Rightarrow \widehat {DAE} = {40^o}\end{array}\)

Bài 6.4

Cho hình bs 4. Chứng minh rằng :

a) \(C,O,D\) thẳng hàng ;

b) \(BC = AD\).

Phương pháp:

+) Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.

+) \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) có \(\widehat A = \widehat {A'};\,\widehat B = \widehat {B'}\) thì \(\widehat C = \widehat {C'}.\)

a) \(OB=OC\) (bằng bán kính) \( \Rightarrow \Delta BOC\) cân tại \(O\).

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)   (1)

\(OA=OD\) (bằng bán kính) \( \Rightarrow \Delta AOD\) cân tại \(O\).

\( \Rightarrow \widehat A = \widehat D\) (tính chất tam giác cân)   (2)

Mà \(\widehat A = \widehat B\) (gt)   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D\).

Vậy hai tam giác cân \(AOD\) và \( BOC\) có các góc đáy bằng nhau nên góc ở đỉnh cũng bằng nhau.

Suy ra \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\)   (4)

Ta có: \(\widehat {AOD} + \widehat {DOB} = {180^o}\) (hai góc kề bù)   (5)

Từ (4) và (5) suy ra: \( \widehat {BOC} + \widehat {DOB} = {180^o}\) hay \(C, O, D\) thẳng hàng.

b) Xét \(ΔBOC\) và \(ΔAOD\) có:

\(OB=OA\) (bằng bán kính)

\(OC=OD\) (bằng bán kính)

\(  \widehat {BOC}=\widehat {AOD}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ΔBOC = ΔAOD \) (c.g.c)

\( \Rightarrow  BC = AD\) (hai cạnh tương ứng).

Bài 6.5

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat B = {30^o}\). Chứng minh rằng \(AC = \dfrac{1}{2}BC.\)

Phương pháp:

- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

- Tam giác cân có một góc \(60^o\) là tam giác đều.

Lấy điểm \(D\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(CA=CD\).

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {90^o}\)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {90^o}\) (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau).

\(\Rightarrow \widehat C = {90^o} - \widehat B = {90^o} - {30^o} = {60^o}\)

Xét tam giác \(ACD\) có \(CA=CD;\;\widehat C = {60^o}\) nên \(\Delta ACD\) là tam giác đều.

\( \Rightarrow AC = AD = CD\)     (1)

     \(\widehat {CAD} = \widehat C = \widehat {ADC} = {60^o}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {CAD} + \widehat {DAB} = {90^o}\\ \Rightarrow \widehat {DAB} = {90^o} - \widehat {CAD}\\ \Rightarrow \widehat {DAB} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\end{array}\)

Xét \(\Delta ABD\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {ABD} = {30^o}\) nên \(\Delta ABD\) là tam giác cân.

\(\Rightarrow AD = DB\) (tính chất tam giác cân)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC = \dfrac{1}{2}BC.\)