a) Ta có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {CBD} = \displaystyle {{\widehat {ABC}} \over 2}\)\( = \displaystyle {{120^\circ } \over 2}\)\( = 60^\circ \)
Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BD\) cắt \(CB\) tại \(E\).
Lại có:
\(\widehat {BAE} = \widehat {ABD} = 60^\circ \) (so le trong)
\(\widehat {CBD} = \widehat {AEB} = 60^\circ \) (đồng vị)
Suy ra tam giác \(ABE\) đều
\( \Rightarrow AB = BE = EA = 6\,(cm)\,\,(1)\)
Khi đó: \(CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 (cm)\)
Tam giác \(ACE\) có \(AE // BD\) nên suy ra:
\(\displaystyle {{BC} \over {CE}} = {{BD} \over {AE}} \)
\(\Rightarrow BD = \displaystyle {{BC.AE} \over {CE}} = {{12.6} \over {18}} = 4\,(cm) \)
b) Ta có:
\(MB = MC = \displaystyle {1 \over 2}.BC = {1 \over 2}.12\)\( = 6\,(cm)\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(BM = AB \Rightarrow \) \(∆ABM\) cân tại \(B\).
Tam giác cân \(ABM\) có \(BD\) là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy \(BD \bot AM\)
