Ôn tập chương 1 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Đề bài

Hãy tính sin α và tan α, nếu:

a) \(\cos \alpha  =\displaystyle { 5 \over {13}}\);

b) \(\cos \alpha  = \displaystyle {{15} \over {17}}\);

c) \(\cos \alpha  = 0,6.\)

Đề bài

Hãy đơn giản các biểu thức:

a) \(1 - {\sin ^2}\alpha \);

b) \((1 - \cos \alpha )(1 + \cos \alpha )\);

c) \(1 + {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha \);

d) \(\sin \alpha  - \sin \alpha .{\cos ^2}\alpha \);

e) \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  + 2.{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha \);

g) \(ta{n^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha .ta{n^2}\alpha \);

h) \({\cos ^2}\alpha  + ta{n^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha \);

i) \(ta{n^2}\alpha (2.{\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  - 1).\)

Đề bài

Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6,7,9, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài đường cao này và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh lớn nhất đó. 

Đề bài

Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân, nếu đường cao kẻ xuống đáy có độ dài là 5 và đường cao kẻ xuống cạnh bên có độ dài là 6.

Đề bài

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a, AC = 3a\). Trên cạnh \(AC\) lấy các điểm \(D, E\) sao cho \(AD = DE = EC.\)

a) Chứng minh: \(\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)

b) Chứng minh \(∆BDE\)  đồng dạng  \(∆CDB\)

c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách

Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b);

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Đề bài

(h.31) Tính góc α tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m. 

Đề bài

Cho hình 32. 

Biết:

\(AD \bot DC,\widehat {DAC} = 74^\circ \)

\(\widehat {AXB} = 123^\circ ,AD = 2,8\,cm\); \(AX = 5,5cm, BX = 4,1cm.\)

a) Tính \(AC\).

b) Gọi \(Y\) là điểm trên \(AX\) sao cho \(DY ⁄⁄ BX\). Hãy tính \(XY\)

c) Tính diện tích tam giác \(BCX\).

Đề bài

Tam giác ABC có \(\hat A = 20^\circ ,\widehat B = 30^\circ ,AB = 60cm\). Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. (h.33).

Hãy tìm:

a) AP, BP;

b) CP.

Đề bài

Cho hình thang với đáy nhỏ là \(15cm\), hai cạnh bên bằng nhau và bằng \(25cm\), góc tù bằng \(120^\circ \). Tính chu vi và diện tích của hình thang đó.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 6cm\), \(AC = 8cm.\)

a) Tính \(BC,\widehat B,\widehat C\);

b) Phân giác của góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D\). Tính \(BD, CD\).

c) Từ \(D\) kẻ \(DE\) và \(DF\) lần lượt vuông góc với \(AB\) và \(AC\). Tứ giác \(AEDF\) là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác \(AEDF\).

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\) có hai cạnh bên là \(AD\) và \(BC\) bằng nhau, đường chéo \(AC\) vuông góc với cạnh bên \(BC\). Biết \(AD = 5a\), \(AC = 12a.\)

a) Tính \({{\sin B + c{\rm{osB}}} \over {\sin B - c{\rm{osB}}}}.\)

b) Tính chiều cao của hình thang \(ABCD\).

Đề bài

Cho tam giác cân \(ABC\), \(AB = AC = 10cm\), \(BC = 16cm\). Trên đường cao \(AH\) lấy điểm \(I\) sao cho \(AI = \displaystyle {1 \over 3}AH.\) Vẽ tia \(Cx\) song song với \(AH\), \(Cx\) cắt tia \(BI\) tại \(D\).

a) Tính các góc của tam giác \(ABC\).

b) Tính diện tích tứ giác \(ABCD\).

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Biết : \(AB = 21cm\), \(AC = 28cm, BC = 35cm.\)

a) Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông.

b) Tính sinB, sinC.

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\). Biết hai đáy \(AB = a\) và \(CD = 2a\), cạnh bên \(AD = a\), \(\widehat A = 90^\circ \)

a) Chứng minh \(tan\widehat C = 1.\) 

b) Tính tỉ số diện tích tam giác BCD và diện tích hình thang ABCD.

c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có góc \(B\) bằng \(120^\circ, \) \(BC = 12cm, AB = 6cm\). Đường phân giác của góc \(B\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D\).

a) Tính độ dài đường phân giác \(BD\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh \(AM \bot BD.\)

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) chia cạnh huyền \(BC\) thành hai đoạn \(BH, CH\) có độ dài lần lượt là \(4cm, 9cm\). Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\). 

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(DE\).

b) Các đường thẳng vuông góc với \(DE\) tại \(D\) và tại \(E\) lần lượt cắt \(BC\) tại \(M\) và \(N\). Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(BH\) và \(N\) là trung điểm của \(CH\).

c) Tính diện tích tứ giác \(DENM\).

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\), \(\widehat C = 30^\circ,\)\(BC = 10cm.\)

a) Tính \(AB, AC.\)

b) Từ \(A\) kẻ \(AM, AN\) lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc \(B\).

Chứng minh: \(MN // BC\) và \(MN = AB.\)

c) Chứng minh hai tam giác \(MAB\) và \(ABC\) đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Đề bài

Cho tam giác \(AB = 6cm,\) \(AC = 4,5cm,\)\( BC = 7,5cm.\)

a) Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Tính các góc \(\widehat B,\widehat C\) và đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \({S_{ABC}} = {S_{BMC}}.\)

Đề bài

Gọi \(AM, BN, CL\) là ba đường cao của tam giác \(ABC\). Chứng minh:

a) \(∆ANL\) đồng dạng \(∆ABC\);

b) \(AN.BL.CM\) \(= AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.\)

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 105^\circ \), \(\widehat B = 45^\circ \), \(BC = 4cm\). Tính độ dài các cạnh \(AB, AC.\)

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CD\). Tính  \(cos\;\widehat {MAN}\)

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat A = 120^\circ \), \(AB = a,\) \(BC = b\). Các đường phân giác của bốn góc \(A, B, C, D\) cắt nhau tạo thành tứ giác \(MNPQ\). Tính diện tích tứ giác \(MNPQ\).