a) Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\(AB = BC.\sin \widehat C = 10.\sin 30^\circ\)\( = 10.\displaystyle {1 \over 2} = 5\,(cm)\)
\(AC = BC.\cos \widehat C = 10.\cos 30^\circ \)\(= 10.\displaystyle {{\sqrt 3 } \over 2} = 5\sqrt 3 \,(cm)\)
b) Ta có:
\(BM \bot BN\) (tính chất hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {MBN} = 90^\circ \,(1)\)
\(AM \bot BM\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {AMB} = 90^\circ \,(2)\)
\(AN \bot BN\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {ANB} = 90^\circ \,(3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác \(AMBN\) là hình chữ nhật.
Suy ra: \(∆AMB = ∆NBM\) (c.g.c)
\(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {NMB}\)
Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {MBC}\,(gt)\)
Suy ra: \(\widehat {NMB} = \widehat {MBC}\)
Suy ra \(MN // BC\) (có cặp so le trong bằng nhau)
Vì \(AMBN\) là hình chữ nhật nên \(AB = MN\).
c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {ABM} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat B = {1 \over 2}.60^\circ = 30^\circ \)
Xét hai tam giác \(ABC\) và \(MAB\), ta có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)
\(\widehat {ACB} = \widehat {ABM} = 30^\circ \)
Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng với \(∆MAB\) (g.g)
Tỉ số đồng dạng: \(k = \displaystyle {{AB} \over {BC}} = {5 \over {10}} = {1 \over 2}\)
