a) Ta có:
\(HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \)
\(HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \)
Tứ giác \(ADHE\) có \(3\) góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Suy ra: \(AH = DE\) (tính chất hình chữ nhật)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(AH\) là đường cao.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:
\(\eqalign{& A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \cr & \Rightarrow AH = 6\,(cm) \cr} \)
Vậy \(DE = 6 (cm)\)
b) * Gọi \(G\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\)
Ta có: \(GA = GD = GH = GE\) (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra tam giác \(GHD\) cân tại \(G\)
Ta có:
\(\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,(1)\)
\(\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,(2)\)
\(\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,(3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,(4)\)
Suy ra tam giác \(MDH\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow MD = MH\,(5)\)
Lại có: \(\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,(6)\)
\(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \) (\(∆BDH\) vuông tại \(D\)) (7)
Từ (4), (6) và (7) suy ra: \(\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\)
Suy ra tam giác \(MBD\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow MB = MD\,(8)\)
Từ (5) và (8) suy ra: \(MB = MH\) hay \(M\) là trung điểm của \(BH\).
*Tam giác \(GHE\) cân tại \(G\)
Ta có: \(\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,(9)\)
\(\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \) (10)
\(\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (11)
Từ (9), (10) và (11) suy ra: \(\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\) (12)
Suy ra tam giác \(NEH\) cân tại \(N\) \( \Rightarrow NE = NH\) (13)
Lại có: \(\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (14)
\(\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \) (\(∆CEH\) vuông tại \(E\)) (15)
Từ (12), (14) và (15) suy ra: \(\widehat {NDC} = \widehat {NCE}\)
Suy ra tam giác \(NCE\) cân tại \(N\) \( \Rightarrow NC = NE\,(16)\)
Từ (13) và (16) suy ra: \(NC = NH\) hay \(N\) là trung điểm của \(CH\).
c) Tam giác \(BDH\) vuông tại \(D\) có \(DM\) là đường trung tuyến nên:
\(DM = \displaystyle {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2\,(cm)\)
Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên
\(EN = \displaystyle {1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5\,(cm)\)
Mà \(MD \bot DE\) và \(NE \bot DE\) nên \(MD // NE\)
Suy ra tứ giác \(DENM\) là hình thang
Vậy
\(\eqalign{& {S_{DENM}} = {{DM + NE} \over 2}.DE \cr & = {{2 + 4,5} \over 2}.6 = 19,5cm^2. \cr} \)